Integrale arcoseno

Ciao Elena! Allora, vediamo un po'. Mi sembra di aver capito che l'integrale che devi risolvere è questo:$$ \int_{-2}^0 \arccos ( x+1 ) - \pi dx $$Iniziamo subito a tirare fuori quel $\pi$: possiamo farlo grazie alla linearità dell'integrale (che spieghiamo qui https://library.weschool.com/lezione/primitive-e-integrali-indefiniti-definizione-e-spiegazione-7762.html). Poi osserviamo che il grafico di $\arccos(x+1)$ si ottiene da quello di $\arccos(x)$ traslandolo a sinistra di $1$: quindi possiamo traslare l'integrale a destra di $1$ e scrivere che $\int_{-2}^{0} \arccos(x+1) dx = \int_{-1}^{1} \arccos (x) dx$. Adesso l'integrale risulta pari a$$ \int_{-1}^{1} \arccos (x) dx - \left[ \pi x \right]^{0}_{-2} = \int_{-1}^{1} \arccos (x) dx - 2\pi$$Ora rimane da integrare solo l'arcocoseno! Ricordiamo che l'arcocoseno è la funzione inversa del coseno: riassumiamo il tutto in questo contenuto https://library.weschool.com/lezione/grafico-dominio-arcotangente-arcoseno-arcocoseno-arcocotangente-funzioni-trigonometriche-inverse-14695.html. L'integrale dell'arcocoseno lo possiamo svolgere per parti: il procedimento generale lo spieghiamo qui https://library.weschool.com/lezione/integrazione-per-parti-7600.html. Nel nostro caso, scriviamo che $\int \arccos (x) dx = \int 1 \cdot \arccos (x) dx $, dove $1$ è la derivata di $x$: possiamo allora scrivere che $\int \arccos (x) dx = x \arccos (x) + \int x \left( \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \right) dx$ (occhio ai segni). Questo nuovo integrale si può facilmente risolvere per sostituzione, che riassumiamo qui https://library.weschool.com/lezione/integrazione-sostituzione-formule-ed-esempi-di-integrali-risolti-7433.html. Basta notare che $ \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}$ è la derivata di $-\sqrt{1-x^2}$ (di nuovo, occhio ai segni), e il gioco è fatto. Allora possiamo scrivere che l'integrale di partenza vale $$ -2\pi + \left[x \arccos(x) - \sqrt{1-x^2}\right]^{1}_{-1} = -2\pi + \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2} = -\pi$$A me viene $-\pi$! In effetti, la funzione $\arccos(x+1) - \pi$ è sempre minore di $0$, dato che l'arcocoseno vale al massimo $1$ e vi sottraggo $ \pi > 3$; di conseguenza, il suo integrale (di Riemann) non può che essere un numero negativo. Ho davvero capito bene l'integranda e/o il dominio? Fammi sapere :3 Ciao e... in bocca al lupo!

Ciao Giovanni, allora l'integrale è corretto come l'hai scritto. Personalmente io non ho pensato di traslare l'arcoseno e l'ho tenuto così com'era. ∫▒〖(arccos⁡〖(x+1))〗 〗 dx-πx= Considero l’integrale del diminuendo della differenza ∫▒〖(arccos⁡〖(x+1))〗 〗 dx= Applico l’integrazione per sostituzione: x+1=t  dt = dx ∫▒〖(arccos⁡〖(t))〗 〗 dt= Applico l’integrazione per parti: ∫▒〖(f(x) g^' 〗(x))dx=f(x)g(x)-∫▒〖(f〗^' (x)g(x))dx f(t)=arccos⁡(t+1)→f^' (x)=(-1)/√(1-〖(t+1)〗^2 ) g(t)=1→g(t)=∫▒〖dt=〗 t+c ∫▒〖(arccos⁡〖(t))〗 〗 dt= t arccos⁡〖(t)-〗 ∫▒〖((-t)/√(1-〖(t)〗^2 )〗)dt= t arccos⁡〖(t)-〗 ∫▒〖〖((1-t^2)〗^(-1/2) t)〗 dt= t arccos⁡〖(t)-1/2〗 ∫▒〖(1-t^2)〗^(-1/2+1)/(1/2) dt= t arccos⁡〖(t)-〗 〖(1-t^2)〗^(1/2)= t arccos⁡〖(t)-〗 √((1-t^2))= Sostituisco il parametro t con il suo corrispondente (x+1) arccos⁡〖(x+1)(-〗 √((1-(x+1)^2 ) ))= (x+1) arccos⁡〖(x+1)(-〗 √((-x^2-2x) ))= Considero il valore dell’integrale definito iniziale: ∫_(-2)^0▒〖((x+1) arccos⁡〖(x+1)(-〗 √((1-(x+1)^2 ) )〗)-πx)dx= [(x+1) arccos⁡〖(x+1)(-〗 √((1-(x+1)^2 ) ))-πx] ■(0@-2)= [+2π+π] ■(0@-2)= 3π (spero si capisca qualcosa di quello che c'è scritto sopra) Provando a rifarlo a me viene 3 pi (che alla fine è come scrivere - pi, giusto?) solo che usando ad esempio wolfram-alpha il risultato che da è 3 pi+2. Quel più 2 mi mette in crisi... Perchè c'è? - Elena Pedersoli 11 Giugno 2016

Ciao Elena! Cercando di decifrare i geroglifici del web, sono incappato in un paio di cose che mi hanno perplesso. Prima di tutto, nella tua soluzione mi sembra tu metta un $-$ quando effettui l'integrazione per parti: giusto, ma poi dentro l'integrale c'è un altro meno, quindi, al netto, dovremmo avere un $+$. Questo però non è molto importante perché agli estremi dell'intervallo quella funzione vale $0$, quindi che ci sia $+$ o $-$, per una volta, non fa molta differenza :3 Per quanto riguarda il valore dell'integrale, non mi tornano i conti: se sostituiamo $x = 0$, abbiamo $1 \cdot \arccos (1) = 1 \cdot 0 = 0$ (e gli altri addendi comunque fanno $0$), mentre se sostituiamo $ x = -2 $, si ottiene $(-1) \cdot \arccos(-1) = -1 \cdot \pi = -\pi$, la radice fa $0$ e l'ultimo addendo fa $- (-2) \pi = 2 \pi$, quindi in totale $- \pi + 2 \pi = \pi$. Quindi se stiamo calcolando $\int_{-2}^{0} \dots dx$, otteniamo $0 - \pi = -\pi$; che è diverso da $3\pi$. Dato che ci piacciono solo gli angoli tra $0$ e $2\pi$, dovremmo dire che è in realtà $\pi$. E se digito " \int_{-2}^0 \arccos(x+1) - \pi dx " dentro Wolfram, a me esce $-\pi$. La trama si infittisce :(

No, va bene hai ragione tu. Ho fatto un'errore di segno (male male). Il valore dell'integrale risulta -pi anche a me ora (benché su MalMath, un applicazione per il telefono, il valore dell'integrale è 3pi+2). Una brevissima domanda. Questo integrale fa parte in un sistema insieme al suo simmetrico rispetto all'asse y e all'equazione di due semicirconferenze simmetriche anch'esse rispetto all'asse delle ascisse, aventi raggio 1 e centro c(0;-1) e c(0;+1). Detto questo volevo calcolare l'area totale del cuore che si viene a formare. La somma dell'area delle due semicirconferenze è A=pi e l'area dei due arcocoseni è -2pi. L'area totale risulta meno pi. Giungo alla domanda: è possibile che l'area sia negativa? O ho sbagliato ti nuovo qualche segno? - Elena Pedersoli 15 Giugno 2016

No, va bene hai ragione tu. Ho fatto un'errore di segno (male male). Il valore dell'integrale risulta -pi anche a me ora (benché su MalMath, un applicazione per il telefono, il valore dell'integrale è 3pi+2). Una brevissima domanda. Questo integrale fa parte in un sistema insieme al suo simmetrico rispetto all'asse y e all'equazione di due semicirconferenze simmetriche anch'esse rispetto all'asse delle ascisse, aventi raggio 1 e centro c(0;-1) e c(0;+1). Detto questo volevo calcolare l'area totale del cuore che si viene a formare. La somma dell'area delle due semicirconferenze è A=pi e l'area dei due arcocoseni è -2pi. L'area totale risulta meno pi. Giungo alla domanda: è possibile che l'area sia negativa? O ho sbagliato ti nuovo qualche segno?

Ciao Elena! Confermo innanzitutto che MalMath sbaglia i conti, dato che secondo lui $\int_{-1}^1 \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} dx = 2$, mentre sappiamo tutti che fa $0$ (l'abbiamo calcolato prima, ma anche perché l'integranda è dispari e l'integrale è fatto su un intervallo simmetrico rispetto all'origine). E va bene. Per quanto riguarda le aree, no, non esistono aree negative. L'integrale che usiamo al liceo, che è l'integrale di Riemann, ha una corrispondenza $1:1$ con il significato geometrico di "area sottesa al grafico di una funzione" solo se la funzione, sull'intervallo di integrazione, assume valori $\geq 0$: parliamo di questo problema qui https://library.weschool.com/lezione/calcolo-integrali-area-sottesa-curva-funzione-grafico-rette-asse-ascisse-equazioni-7599.html. L'area "dei due arcoseni", quindi, non è $-2\pi$, ma $2 \pi$: $-2 \pi$ è il valore che assume l'integrale che abbiamo calcolato nelle risposte precedenti, che in questo caso non coincide con l'area perché l'integranda, nell'intervallo considerato, è negativa: tracciane un grafico per accorgetene! In generale, quando ci si chiede di calcolare un'area, e non semplicemente un integrale, lo strumento più potente a nostra disposizione, che è proprio l'integrale di Riemann, è il più fragile, perché bisogna tenere conto del segno della funzione. Spero sia tutto chiaro: se hai ulteriori dubbi, chiedi pure! Ciao e buona serata :3