Integrale irrazionale fratto
Salve come posso risolvere l'integrale radice di (x/1-x)?
il 19 Gennaio 2016, da Michele Grimaldi
Ciao Michele! Riscrivo l'integrale per comodità: $$\int \sqrt{\frac{x}{x-1}} dx$$Come al solito, quando si risolve un integrale, non si è mai certi di quale sia il "metodo migliore" da applicare, ma a me è venuto in mente di utilizzare il metodo di sostituzione che trovi spiegato qui: https://library.weschool.com/lezione/integrazione-sostituzione-formule-ed-esempi-di-integrali-risolti-7433.html (qua alcuni esercizi svolti: https://library.weschool.com/lezione/calcolare-integrali-di-funzione-con-integrazione-per-sostituzione-9702.html). In particolare opererei la seguente sostituzione: ##KATEX##\begin{aligned} x & = \sin^2t dt \\ dx & = 2 \sin t \cos t dt \end{aligned}##KATEX##Da questa sostituzione arriverai a dover risolvere un integrale fatto così: $$\int 2\sin^2 t dt$$Normalmente questo integrale andrebbe risolto per parti (il metodo è spiegato qui: https://library.weschool.com/lezione/integrazione-per-parti-7600.html) ma utilizzando le formule di linearizzazione (che trovi qui: https://library.weschool.com/lezione/formulario-trigonometria-formule-duplicazione-angoli-associati-werner-13155.html) diventa semplicemente $$\int 1 - \cos(2t) dt = t - \frac{1}{2} \sin (2t) + C = t - \sin t \cos t + C$$A questo punto dobbiamo riformulare questo integrale in $x$: ricordandoci che $t = \arcsin \sqrt{x}$ (ho semplicemente invertito la sostituzione) e di qualche proprietà delle funzioni trigonometriche inverse (che trovi qui: https://library.weschool.com/lezione/grafico-dominio-arcotangente-arcoseno-arcocoseno-arcocotangente-funzioni-trigonometriche-inverse-14695.html) otteniamo $$\int \sqrt{\frac{x}{x-1}} dx = \arcsin \sqrt{x} - \sqrt{x} ( 1-x) + C$$Ho riassunto molti conti che ti lascio provare a fare; ci sarebbero anche delle condizioni di esistenza da porre su $x$ e $t$ per permetterci di svolgere queste sostituzioni in tranquillità, ma grosso modo il procedimento (e il risultato) è questo. Fammi sapere se hai bisogno di ulteriori dettagli! Ciao :)