integrali indefiniti
Ciao, non riesco a trovare nel sito la dimostrazione del teorema di Torricelli-Barrow. Potete aiutarmi? Grazie
il 27 Maggio 2015, da Ilaria Vignola
Ciao Ilaria. Al momento non abbiamo, in effetti, un contenuto che spieghi nel dettaglio la dimostrazione del teorema di Torricelli-Barrow (che è il teorema fondamentale del calcolo integrale). Forse l’hai già visto, ma ti segnalo questo video che parla dell’argomento in maniera generale: https://library.weschool.com/lezione/come-calcolare-integrale-definito-di-funzione-matematica-9688.html. In ogni caso, provo a darti un’idea della dimostrazione. Data una funzione $f$ continua e integrabile su un intervallo $[a,b]$, il teorema consiste di due parti. La prima si occupa di dimostrare che la funzione integrale $$F(x) = \int_a^x f(t) dt$$è continua in $[a,b]$ e derivabile in $(a,b)$ e risulta $F’(x) = f(x)$ (o, in altre parole, $F$ risulta essere una primitiva di $f$). La seconda parte invece è quella più utile “operativamente”, dato che permette di calcolare gli integrali definiti, e afferma che $$\int_a^b f(x) = G(b) - G(a)$$dove $G$ è una qualsiasi primitiva di $f$. La dimostrazione della prima parte è abbastanza tecnica, e fa un pesante uso delle proprietà dell’integrale e del teorema della media integrale; non me la sentirei di approfondire qui, è un procedimento lungo e laborioso che lascerei al contenuto di approfondimento che faremo a riguardo. La seconda parte invece si dimostra facilmente, sapendo la prima: per definizione di $F$ abbiamo$$\int_a^b f(t)dt = F(b) - F(a)$$e dato che $G$ è una primitiva di $f$ si può mostrare che $G(x) = F(x) + c$ per un certo $c \in \mathbb{R}$, e che quindi $F(b) - F(a) = G(b) - G(a)$. Spero di esserti stato utile, quando avremo pubblicato qualcosa di più specifico ti faremo sapere :)
Ciao Ilaria! Come promesso, ecco qui un testo che parla del teorema fondamentale del calcolo integrale: https://library.weschool.com/lezione/calcolo-integrale-teorema-fondamentale-torricelli-barrow-dimostrazione-analisi-14707.html. Fammi sapere se può esserti utile :) Ciao!