Con il nome di teorema fondamentale del calcolo integrale o teorema di Torricelli - Barrow si può intendere uno tra due teoremi nell’ambito della teoria dell’integrazione delle funzioni, detti primo teorema fondamentale del calcolo e secondo teorema fondamentale del calcolo. Tuttavia, la stragrande maggioranza dei matematici - quando si parla di “teorema fondamentale del calcolo integrale” o di “teorema di Torricelli - Barrow” - si riferisce al secondo teorema: infatti è tale risultato ad avere estrema importanza pratica, dato che è grazie a esso che possiamo utilizzare il consueto metodo di calcolo degli integrali definiti.
Prima di cominciare, conviene introdurre la seguente definizione.
Definizione
Consideriamo una funzione $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ integrabile e continua in un intervallo $[a, b]$. Si chiama funzione integrale la funzione definita dalla seguente espressione: $$F(x) = \int_a^x f(t) dt, \qquad \forall x \in [a, b]$$
La funzione integrale di $f$, in sostanza, restituisce il valore (con segno) dell’area sottesa dal grafico di $f$ nell’intervallo $[a, x]$, per ogni scelta di $x \in [a, b]$.
Primo teorema fondamentale del calcolo: consideriamo una funzione $f$ continua in $[a, b]$. La sua corrispondente funzione integrale $$F(x) = \int_a^x f(t) dt$$ è derivabile in $(a, b)$; inoltre $F’(x) = f(x)$ per ogni scelta di $x \in (a, b)$.
Dimostrazione. Consideriamo un punto $x_0 \in (a, b)$ e una quantità $h > 0$ sufficientemente piccola, in modo che $x_0 + h$ sia ancora in $(a, b)$. Grazie alle proprietà dell’integrale sappiamo che $$\int_a^{x_0} f(t)dt + \int_{x_0}^{x_0+h} f(t)dt = \int_a^{x_0+h}f(t)dt$$Inoltre, per definizione di $F(x)$, valgono le seguenti uguaglianze: $$F(x_0) = \int_a^{x_0} f(t)dt \qquad F(x_0 + h) = \int_a^{x_0+h}f(t)dt$$A questo punto otteniamo facilmente questa relazione:$$F(x_0+h) - F(x_0) = \int_{x_0}^{x_0 + h}f(t)dt$$Dato che $f$ è continua su $(a, b)$, possiamo applicare il teorema della media integrale, che ci assicura che esiste un $c \in (x_0, x_0 + h)$ tale per cui $$\int_{x_0}^{x_0 + h}f(t)dt = f(c) \cdot (x_0 +h - x_0) = f(c) \cdot h$$Quindi la nostra uguaglianza può essere rielaborata così: $$F(x_0+h) - F(x_0) = f(c)h \quad \Rightarrow \quad \frac{F(x_0+h) - F(x_0)}{h} = f(c)$$Possiamo far passare al limite entrambi i membri, ottenendo ##KATEX##\begin{aligned} \lim_{h \to 0} \frac{F(x_0+h) - F(x_0)}{h} & = \lim_{h \to 0}f(c)\\ F’(x_0) & = \lim_{h \to 0}f(c)\end{aligned}##KATEX##Analizziamo il termine $\displaystyle \lim_{h \to 0}f(c)$. Sappiamo che $f$ è continua, quindi $\displaystyle \lim_{h \to 0}f(c) = f(L)$ dove $L = \displaystyle \lim_{h \to 0}c$. Dato che $c$ dipende dalla scelta di $h$ (infatti $h$ è l’ampiezza dell’intervallo in cui applichiamo il teorema della media integrale) non possiamo aspettarci che $ \displaystyle \lim_{h \to 0}c = c$, come invece capiterebbe se $c$ fosse una costante. Però, dato che vale sempre $x_0 \leq c \leq x_0 +h$, e che $$\lim_{h \to 0}x_0 = x_0, \qquad \lim_{h \to 0} ( x_0 + h )= x_0,$$allora per il teorema del confronto siamo in grado di affermare che $$L = \lim_{h \to 0}c = x_0$$e quindi che $$\lim_{h \to 0}f(c) = f(L) = f(x_0)$$In sostanza abbiamo appena mostrato che $$F’(x_0) = f(x_0);$$questo significa che $F$ è derivabile, e che calcolare la sua derivata in un qualunque punto $x_0 \in (a, b)$ è come calcolare $f$ in tale punto, così come volevamo dimostrare.
Secondo teorema fondamentale del calcolo (teorema di Torricelli - Barrow): consideriamo una funzione $f$ continua in $[a, b]$. Vale la seguente uguaglianza: $$\int_a^b f(t)dt = G(b) - G(a)$$dove $G$ è una qualsiasi primitiva di $f$ in $[a, b]$ (cioè, è una funzione tale per cui $G’(x) = f(x)$).
Dimostrazione. Per definizione, la funzione integrale $F(x) = \int_a^x f(t)dt$ soddisfa le seguenti relazioni: $$F(b) = \int_a^b f(t)dt \qquad F(a) = \int_a^a f(t)dt$$Quindi, sfruttando le proprietà dell’integrale, possiamo scrivere: $$\int_a^b f(t)dt = F(b) - F(a)$$Bisogna mostrare quindi che $G(b) - G(a) = F(b) - F(a)$ per una qualunque primitiva $G$ di $f$. Per fare questo, è sufficiente notare che $F(x) = \int_a^x G’(t)dt$, visto che $G’ = f$; per il primo teorema del calcolo integrale, quindi, abbiamo$$F’(x) = G’(x) \ \Rightarrow \ F’(x) - G’(x) = 0 \ \Rightarrow \ \left ( F(x) - G(x) \right )’ = 0$$L’ultima relazione dice quindi che la funzione $F(x) - G(x)$ è costante, ovvero che esiste un numero $c \in \mathbb{R}$ tale per cui $F(x) - G(x) = c$ o, in altre parole, $$F(x) = G(x) + c$$Questa relazione tra $F(x)$ e $G(x)$ è tutto quello che ci serve per arrivare dove volevamo: $$F(b) - F(a) = \left ( G(b) + c \right ) - \left ( G(a) + c \right ) = G(b) - G(a).$$