Uno dei principali risultati all’interno della teoria dell’integrazione è il teorema della media integrale. Questo teorema assicura che l’integrale definito di una funzione continua su un intervallo è sempre uguale all’area di un rettangolo che ha per dimensioni un lato di lunghezza (l’ampiezza dell’intervallo) e un lato di lunghezza , dove è un certo valore compreso tra e .
TEOREMA (della media integrale): consideriamo una funzione continua in un intervallo (con ). Allora esiste un tale per cui è soddisfatta la seguente uguaglianza:
Dimostrazione. Innanzitutto notiamo che, dato che è continua, per essa vale il teorema di Weierstrass, grazie al quale possiamo affermare che assume valore massimo e minimo all’interno dell’intervallo . Possiamo dunque scrivere questo: Le proprietà dell’integrale (in questo caso la monotonia dell’integrale) ci permettono di integrare tutti i membri di questa catena di disuguaglianze mantenendo inalterati i versi delle disuguaglianze stesse: Sappiamo svolgere sia il primo che il terzo integrale: questi sono integrali delle funzioni costanti e rispettivamente. Otteniamo cioè: Di conseguenza possiamo riscrivere la catena di disuguaglianze in questo modo: e dividendo per (che è certamente diverso da zero, dato che ) si ha Quello che abbiamo appena scritto è che il valore è compreso tra e ; inoltre, dato che è continua, sappiamo che essa assume in tutti i valori compresi tra e , grazie al teorema dei valori intermedi. Queste due informazioni ci assicurano quindi che esiste sicuramente un tale per cui che è proprio quello che volevamo mostrare.
Alcune osservazioni sul teorema della media integrale
Mostriamo innanzitutto che l’interpretazione del teorema che abbiamo dato all’inizio della lezione è corretta. Per farlo, è sufficiente riordinare la relazione presente nell’enunciato: Il primo membro può essere interpretato proprio come il valore dell’area di un rettangolo di lati e , e quindi questo giustifica quanto detto.
È importante osservare che l’ipotesi che sia continua deve per forza essere mantenuta, dato che esistono funzioni non continue che non soddisfano l’enunciato del teorema. Infatti, consideriamo per esempio la funzione: e limitiamoci a studiarla nell’intervallo . Si verifica facilmente che e dunque che ma è evidente che non esiste alcun valore tale per cui .