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Teorema della media integrale: dimostrazione e interpretazione geometrica

Uno dei principali risultati all’interno della teoria dell’integrazione è il teorema della media integrale. Questo teorema assicura che l’integrale definito di una funzione continua ff su un intervallo [a,b][a, b] è sempre uguale all’area di un rettangolo che ha per dimensioni un lato di lunghezza bab-a (l’ampiezza dell’intervallo) e un lato di lunghezza f(c)f(c), dove cc è un certo valore compreso tra aa e bb.

TEOREMA (della media integrale): consideriamo una funzione continua ff in un intervallo [a,b][a, b] (con aba \neq b). Allora esiste un c[a,b]c \in [a, b] tale per cui è soddisfatta la seguente uguaglianza:f(c)=1baabf(t)dt. f(c) = \frac{1}{b-a} \int_a^b f(t)dt.

Dimostrazione. Innanzitutto notiamo che, dato che ff è continua, per essa vale il teorema di Weierstrass, grazie al quale possiamo affermare che ff assume valore massimo e minimo all’interno dell’intervallo [a,b][a, b]. Possiamo dunque scrivere questo: mf(x)M x[a,b]m \leq f(x) \leq M \qquad \forall \ x \in [a, b]Le proprietà dell’integrale (in questo caso la monotonia dell’integrale) ci permettono di integrare tutti i membri di questa catena di disuguaglianze mantenendo inalterati i versi delle disuguaglianze stesse: abmdtabf(t)dtabMdt\int_a^b m dt \leq \int_a^b f(t)dt \leq \int_a^b M dtSappiamo svolgere sia il primo che il terzo integrale: questi sono integrali delle funzioni costanti mm e MM rispettivamente. Otteniamo cioè: abmdt=mxab=mbma=m(ba)abMdt=Mxab=MbMa=M(ba)\begin{aligned} \int_a^b m dt & = \big \vert mx \big \vert^b_a = mb - ma = m(b-a) \\ \int_a^b M dt & = \big \vert Mx \big \vert^b_a = Mb - Ma = M(b-a) \end{aligned}Di conseguenza possiamo riscrivere la catena di disuguaglianze in questo modo:  m(ba)abf(t)dtM(ba)m(b-a) \leq \int_a^b f(t)dt \leq M(b-a)e dividendo per bab-a (che è certamente diverso da zero, dato che aba \neq b) si ha m1baabf(t)dtMm \leq \frac{1}{b-a}\int_a^b f(t)dt \leq MQuello che abbiamo appena scritto è che il valore 1baabf(t)dt\frac{1}{b-a}\int_a^b f(t)dt è compreso tra mm e MM; inoltre, dato che ff è continua, sappiamo che essa assume in [a,b][a, b] tutti i valori compresi tra mm e MM, grazie al teorema dei valori intermedi. Queste due informazioni ci assicurano quindi che esiste sicuramente un c[a,b]c \in [a, b] tale per cui f(c)=1baabf(t)dtf(c) = \frac{1}{b-a}\int_a^b f(t)dtche è proprio quello che volevamo mostrare.

 

Alcune osservazioni sul teorema della media integrale

Mostriamo innanzitutto che l’interpretazione del teorema che abbiamo dato all’inizio della lezione è corretta. Per farlo, è sufficiente riordinare la relazione presente nell’enunciato: f(c)=1baabf(t)dtf(c)(ba)=abf(t)dt f(c) = \frac{1}{b-a} \int_a^b f(t)dt \quad \Rightarrow \quad f(c)(b-a) = \int_a^b f(t)dtIl primo membro può essere interpretato proprio come il valore dell’area di un rettangolo di lati bab-a e f(c)f(c), e quindi questo giustifica quanto detto.

È importante osservare che l’ipotesi che ff sia continua deve per forza essere mantenuta, dato che esistono funzioni non continue che non soddisfano l’enunciato del teorema. Infatti, consideriamo per esempio la funzione: g(x)={3x<15x1g(x) = \begin{cases} 3 & x < 1 \\ 5 & x \geq 1 \end{cases}e limitiamoci a studiarla nell’intervallo [0,2][0, 2]. Si verifica facilmente che 02g(t)dt=013dt+125dt=3+5=8\int_0^2 g(t)dt = \int_0^1 3 dt + \int_1^2 5 dt = 3 + 5 = 8e dunque che 12002g(t)dt=4\frac{1}{2-0}\int_0^2 g(t)dt = 4ma è evidente che non esiste alcun valore c[0,2]c \in [0, 2] tale per cui f(c)=4f(c) = 4.

 

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