Uno dei principali risultati all’interno della teoria dell’integrazione è il teorema della media integrale. Questo teorema assicura che l’integrale definito di una funzione continua $f$ su un intervallo $[a, b]$ è sempre uguale all’area di un rettangolo che ha per dimensioni un lato di lunghezza $b-a$ (l’ampiezza dell’intervallo) e un lato di lunghezza $f(c)$, dove $c$ è un certo valore compreso tra $a$ e $b$.
TEOREMA (della media integrale): consideriamo una funzione continua $f$ in un intervallo $[a, b]$ (con $a \neq b$). Allora esiste un $c \in [a, b]$ tale per cui è soddisfatta la seguente uguaglianza:$$ f(c) = \frac{1}{b-a} \int_a^b f(t)dt.$$
Dimostrazione. Innanzitutto notiamo che, dato che $f$ è continua, per essa vale il teorema di Weierstrass, grazie al quale possiamo affermare che $f$ assume valore massimo e minimo all’interno dell’intervallo $[a, b]$. Possiamo dunque scrivere questo: $$m \leq f(x) \leq M \qquad \forall \ x \in [a, b]$$Le proprietà dell’integrale (in questo caso la monotonia dell’integrale) ci permettono di integrare tutti i membri di questa catena di disuguaglianze mantenendo inalterati i versi delle disuguaglianze stesse: $$\int_a^b m dt \leq \int_a^b f(t)dt \leq \int_a^b M dt$$Sappiamo svolgere sia il primo che il terzo integrale: questi sono integrali delle funzioni costanti $m$ e $M$ rispettivamente. Otteniamo cioè: ##KATEX##\begin{aligned} \int_a^b m dt & = \big \vert mx \big \vert^b_a = mb - ma = m(b-a) \\ \int_a^b M dt & = \big \vert Mx \big \vert^b_a = Mb - Ma = M(b-a) \end{aligned}##KATEX##Di conseguenza possiamo riscrivere la catena di disuguaglianze in questo modo: $$m(b-a) \leq \int_a^b f(t)dt \leq M(b-a)$$e dividendo per $b-a$ (che è certamente diverso da zero, dato che $a \neq b$) si ha $$m \leq \frac{1}{b-a}\int_a^b f(t)dt \leq M$$Quello che abbiamo appena scritto è che il valore $\frac{1}{b-a}\int_a^b f(t)dt$ è compreso tra $m$ e $M$; inoltre, dato che $f$ è continua, sappiamo che essa assume in $[a, b]$ tutti i valori compresi tra $m$ e $M$, grazie al teorema dei valori intermedi. Queste due informazioni ci assicurano quindi che esiste sicuramente un $c \in [a, b]$ tale per cui $$f(c) = \frac{1}{b-a}\int_a^b f(t)dt$$che è proprio quello che volevamo mostrare.
Alcune osservazioni sul teorema della media integrale
Mostriamo innanzitutto che l’interpretazione del teorema che abbiamo dato all’inizio della lezione è corretta. Per farlo, è sufficiente riordinare la relazione presente nell’enunciato: $$ f(c) = \frac{1}{b-a} \int_a^b f(t)dt \quad \Rightarrow \quad f(c)(b-a) = \int_a^b f(t)dt$$Il primo membro può essere interpretato proprio come il valore dell’area di un rettangolo di lati $b-a$ e $f(c)$, e quindi questo giustifica quanto detto.
È importante osservare che l’ipotesi che $f$ sia continua deve per forza essere mantenuta, dato che esistono funzioni non continue che non soddisfano l’enunciato del teorema. Infatti, consideriamo per esempio la funzione: $$g(x) = \begin{cases} 3 & x < 1 \\ 5 & x \geq 1 \end{cases}$$e limitiamoci a studiarla nell’intervallo $[0, 2]$. Si verifica facilmente che $$\int_0^2 g(t)dt = \int_0^1 3 dt + \int_1^2 5 dt = 3 + 5 = 8$$e dunque che $$\frac{1}{2-0}\int_0^2 g(t)dt = 4$$ma è evidente che non esiste alcun valore $c \in [0, 2]$ tale per cui $f(c) = 4$.
