Funzione integrale

Ciao Antonio! La funzione integrale è una funzione che esprime la misura dell'area (con segno) sottesa al grafico di un'altra funzione. Se $F$ è la funzione integrale di $f$, $F$ ci dice quanto vale l'area sotto al grafico di $f$ da un certo punto fissato $x_0$ sino a un generico $x$. Data l'interpretazione geometrica dell'integrale di Riemann, che riassumiamo qui https://library.weschool.com/lezione/calcolo-integrali-area-sottesa-curva-funzione-grafico-rette-asse-ascisse-equazioni-7599.html, la funzione integrale $F$ di $f$, a partire da $x_0$, è proprio$$ F(x) = \int_{x_0}^x f(t) dt $$Grazie ai teoremi del calcolo integrale, quelli dimostrati nel contenuto cui si riferisce la tua domanda, sappiamo che $F$ è una primitiva di $f$ (quindi $F' = f$, https://library.weschool.com/lezione/quali-sono-le-proprieta-degli-integrali-di-funzioni-elementari-9689.html), e che la possiamo usare per calcolare tutti gli integrali definiti, e tutte le primitive di $f$ differiscono da $F$ di una costante. Come esempi potrei citarti il secondo problema della maturità del 2015 https://library.weschool.com/lezione/matematica-tracce-maturit%C3%A0-soluzione-problema-2-studio-di-funzione-14521.html e il secondo problema della maturità 2016 https://library.weschool.com/lezione/matematica-maturita-2016-grafico-funzione-problema-2-soluzione-18768.html: entrambi toccano l'argomento. Spero che come esempi ti chiariscano l'argomento: se sorge qualsiasi dubbio, non esitare a chiedere! Ciao e buona giornata :D

L'estremo x dell'integrale appartiene all'intervallo di definizione [a,b] ma non è b perchè potrei voler calcolare solo l'area da x0 ad x però perchè con segno? non è sempre positiva l'area? - Antonio Commisso 12 Luglio 2016

L'area è una misura, quindi mai negativa. Però, per come è calcolato l'integrale di Riemann, se una funzione è negativa il valore dell'integrale sarà negativo: cioè se $f(x) < 0$ sull'intervallo $[a, b]$, e l'area individuata dal grafico di $f$ è $A > 0$ (numero reale positivo), avremo che $\int_a^b f(x) dx = -A$. Per questo diciamo che l'integrale "rappresenta" l'area, ma non "è" l'area: sono due cose diverse. Ad esempio, sappiamo che l'area sotto il grafico del seno, da $0$ a $\pi$, è $2$, quindi l'area compresa tra grafico e asse delle $x$ tra $0$ e $2 \pi$ è $4$, dato che la parte sotto l'asse è simmetrica a quella sopra. Tuttavia, abbiamo che $$ \int_0^{2\pi} \sin (x) dx = \int_0^{\pi} \sin (x) dx + \int_{\pi}^{2\pi} \sin (x) dx = 2 + (- 2) = 0 $$Per calcolare correttamente l'area con gli integrali, come detto qui https://library.weschool.com/lezione/calcolo-integrali-area-sottesa-curva-funzione-grafico-rette-asse-ascisse-equazioni-7599.html, bisogna tenere conto del segno di $f$. - Giovanni Barazzetta 12 Luglio 2016