iperbole
) Considera l’iperbole di equazione x^2 – y2 =4 Un rettangolo con i lati paralleli agli assi cartesiani ha i vertici sull’iperbole. Sapendo che il perimetro del rettangolo è 12, determina le coordinate dei suoi vertici
il 03 Dicembre 2015, da lidia cino
Ciao Lidia! Allora, questa sì che è un'iperbole. Ti consiglio innanzitutto un ripasso generale sulle iperboli https://library.weschool.com/lezione/iperbole-equazione-formule-iperbole-equilatera-piano-cartesiano-11426.html. Come si può capire dall'equazione, la nostra iperbole ha intersezione con l'asse delle ascisse nei punti $(\pm 2;0)$, e ha asintoti $y = \pm x$. Ora, quel che dobbiamo capire è tale figura è simmetrica sia rispetto all'asse delle ascisse, sia rispetto all'asse delle ordinate: se quindi un punto $P$ di coordinate $(x_P;y_P)$ si trova sull'iperbole (e, quindi, $x_P^2 - y_P^2 = 4$), si trovano sull'iperbole anche i punti di coordinate $(-x_P;y_P)$, $(x_P;-y_P)$ e $(-x_P;-y_P)$. Questi sono anche i vertici di un rettangolo! Questo accade perché l'asse verticale e quello orizzontale (rispetto ai quali abbiamo "riflesso" $P$) sono perpendicolari tra loro. Ora non ci resta che calcolare il perimetro di tale rettangolo ed imporre che sia uguale a $12$. Per far questo, dobbiamo sapere come trovare la distanza fra due punti: guarda questo contenuto https://library.weschool.com/lezione/come-calcolare-distanza-tra-due-punti-formula-e-spiegazione-4454.html. Tenuto conto che $|y_P| = \sqrt{x_P^2 - 4}$, possiamo facilmente calcolare la lunghezza dei lati del rettangolo, e quindi l'equazione da imporre è $$ 4\left( \sqrt{x_P^2 - 4} + |x_P| \right) = 12$$Fammi sapere che cosa ti viene! A me risulta $|x_P| = \frac{13}{6}$ :3 Ciao e buona giornata.
Si anche a me risulta |xP| = 13/6, mentre |yP| = 5/6. Grazie mille dell'aiuto. - sergio cerminara 07 Dicembre 2015