Limite con funzioni goniometriche

Ciao Giovanni! Per risolvere questo limite non ho usato neanche un limite notevole, ma piuttosto ho fatto ricorso ad alcune formule trigonometriche (trovi l'elenco completo qui: https://library.weschool.com/lezione/formulario-trigonometria-formule-duplicazione-angoli-associati-werner-13155.html). Riscrivo la funzione di cui vogliamo calcolare il limite: $$\frac{\sin(x)-1}{\cos(x) \left ( \cos \left ( \frac{x}{2} \right ) - \sin \left ( \frac{x}{2} \right ) \right )}$$Utilizzando le formule di duplicazione (spiegate nel dettaglio qui: https://library.weschool.com/lezione/formule-duplicazione-coseno-addizione-seno-coseno-tangente-trigonometria-14766.html) possiamo portare tutte le funzioni trigonometriche presenti ad avere $\frac{x}{2}$ come argomento: per esempio $$\sin(x) = 2 \sin \left ( \frac{x}{2} \right ) \cos \left ( \frac{x}{2} \right ) $$e quindi il numeratore può essere riscritto così: $$\sin(x) = 2 \sin \left ( \frac{x}{2} \right ) \cos \left ( \frac{x}{2} \right ) - \left ( \sin^2 \left ( \frac{x}{2} \right ) + \cos^2 \left ( \frac{x}{2} \right ) \right )$$(ho anche applicato l'identità fondamentale della trigonometria per trasformare $1$). Riordinando in maniera ragionata questi termini (ti lascio provare a fare i conti) il numeratore diventa $$-\left ( \cos \left ( \frac{x}{2} \right ) - \sin \left ( \frac{x}{2} \right ) \right )^2$$mentre - sempre con conti che ti lascio verificare - il denominatore diventa $$\left ( \cos \left ( \frac{x}{2} \right ) + \sin \left ( \frac{x}{2} \right ) \right ) \left ( \cos \left ( \frac{x}{2} \right ) - \sin \left ( \frac{x}{2} \right ) \right )^2$$Quindi la nostra funzione diventa $$- \frac{ \left ( \cos \left ( \frac{x}{2} \right ) - \sin \left ( \frac{x}{2} \right ) \right )^2}{\left ( \cos \left ( \frac{x}{2} \right ) + \sin \left ( \frac{x}{2} \right ) \right ) \left ( \cos \left ( \frac{x}{2} \right ) - \sin \left ( \frac{x}{2} \right ) \right )^2} = -\frac{1}{\left ( \cos \left ( \frac{x}{2} \right ) + \sin \left ( \frac{x}{2} \right ) \right )}$$Tutta questa fatica viene ripagata: la funzione a cui siamo arrivati ha "magicamente" perso la caratteristica di avere una forma di indecisione per $x \to \frac{\pi}{2}$! Infatti tale funzione è addirittura continua in $\frac{\pi}{2}$ e vale $-\frac{\sqrt{2}}{2}$, che sarà proprio il valore del nostro limite (lascio di nuovo a te i conti). Fammi sapere se è tutto chiaro :) ciao!