La maggior parte delle formule goniometriche che si utilizzano comunemente possono essere ricavate a partire dalle formule di addizione e sottrazione di seno, coseno, tangente e cotangente; queste formule sono quindi, in un certo senso, alla base delle identità goniometriche più comuni. In questa lezione ci occuperemo di dimostrare tali formule utilizzando un’argomentazione geometrica derivata dall’osservazione della circonferenza goniometrica; successivamente enunceremo anche le formule di duplicazione per le funzioni goniometriche, che discendono molto facilmente dalle formule di addizione.
La formula di sottrazione del coseno: dimostrazione
Consideriamo la circonferenza goniometrica; prendiamo due angoli di ampiezza $\alpha$ e $\beta$ con $\alpha > \beta$, e i rispettivi punti $A$ e $B$ che determinano tali angoli. Vogliamo anche considerare l’angolo di ampiezza $\alpha - \beta$, che sarà determinato da un certo punto $D$ sulla circonferenza goniometrica. Il punto $(1, 0)$ (che giace anch’esso sulla circonferenza) sarà chiamato $C$.
Possiamo esplicitare senza problemi le coordinate cartesiane dei punti $A, B$ e $D$: ##KATEX##\begin{aligned} A \equiv (\cos \alpha & , \sin \alpha ), \qquad B \equiv (\cos \beta , \sin \beta ), \\ D & \equiv (\cos(\alpha - \beta), \sin(\alpha - \beta))\end{aligned}##KATEX##Per costruzione, si vede inoltre che le corde $AB$ e $CD$ sono congruenti, dato che sono sottese da angoli alla circonferenza congruenti (infatti $\hat{AOB} = \hat{COD} = \alpha - \beta$). Ricaviamo entrambe queste lunghezze, utilzzando la formula della distanza tra due punti nel piano cartesiano: ##KATEX##\begin{aligned} \overline{AB} & = \sqrt{\left ( \cos \beta - \cos \alpha \right )^2 + \left ( \sin \beta - \sin \alpha \right )^2} \\ \overline{CD} & = \sqrt{\left ( \cos(\alpha - \beta) - 1\right )^2 + \left ( \sin(\alpha - \beta) - 0 \right )^2} \end{aligned}##KATEX##Dato che $\overline{AB} = \overline{CD}$, è anche vero che $\overline{AB}^2 = \overline{CD}^2$, ovvero: ##KATEX##\begin{aligned} \left ( \cos \beta - \cos \alpha \right )^2 + \left ( \sin \beta - \sin \alpha \right )^2 & = \left ( \cos(\alpha - \beta) - 1\right )^2 + \left ( \sin(\alpha - \beta) - 0 \right )^2 \\ 1 + 1 - 2\cos \beta \cos \alpha - 2\sin \beta \sin \alpha & = 1 + 1 - 2\cos(\alpha - \beta) \end{aligned}##KATEX##Per seguire meglio i calcoli svolti, segnaliamo che tre dei quattro addendi uguali a $1$ sono stati ottenuti ricordando l’identità fondamentale $\cos^2 x + \sin^2 x = 1$. In ogni caso dalla relazione precedente si ottiene facilmente la formula di sottrazione del coseno: $$\cos(\alpha - \beta) = \cos \beta \cos \alpha + \sin \beta \sin \alpha $$
Come ricavare le altre formule di addizione e sottrazione
Il risultato precedente ci permette di ricavare il valore di $\cos(\alpha - \beta)$ a partire dal valore di $\cos \alpha , \sin \alpha , \cos \beta , \sin \beta $. Rimangono però da determinare le formule per le seguenti quantità: $$\cos(\alpha + \beta), \qquad \sin(\alpha - \beta), \qquad \sin(\alpha + \beta)$$Per ottenere ciò che vogliamo faremo ricorso a qualche “trucco”.
- Dato che $\cos(\alpha + \beta) = \cos \left ( \alpha - (-\beta) \right )$, allora la formula per $\cos(\alpha + \beta)$ è la formula di sottrazione del coseno applicata agli angoli $\alpha$ e $-\beta$. Ricordando che il coseno è pari e il seno è dispari, cioè che $\cos(x) = \cos(-x), \sin(x) = - \sin (-x)$, si verifica facilmente che vale la seguente formula di addizione del coseno: $$\cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta .$$
- Notiamo che, per gli archi associati, $$\sin(\alpha - \beta) = \cos \left ( \frac{\pi}{2} - (\alpha-\beta) \right ) = \cos \left ( \left ( \frac{\pi}{2} - \alpha \right ) + \beta \right )$$Quindi la formula per $\sin(\alpha - \beta)$ si ottiene applicando la formula di addizione del coseno applicata agli angoli $\left ( \frac{\pi}{2} - \alpha \right )$ e $\beta$. Svolgendo tale formula e ricordando le formule degli archi associati, si verifica che vale la seguente formula di sottrazione del seno: $$\sin(\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta .$$
- Dato che $\sin(\alpha + \beta) = \sin \left ( \alpha - (-\beta) \right )$, allora la formula per $\sin(\alpha + \beta)$ è la formula di sottrazione del seno applicata agli angoli $\alpha$ e $-\beta$. Si arriva quindi alla formula di addizione del seno: $$\sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta .$$
Grazie ad altri stratagemmi di tipo algebrico è possibile ricavare anche le seguenti formule di addizione e sottrazione per la funzione tangente e la funzione cotangente. ##KATEX##\begin{aligned} \tan(\alpha + \beta) & = \frac{\tan \alpha + \tan\beta}{1- \tan \alpha \tan \beta} \\\tan(\alpha - \beta) & = \frac{\tan \alpha - \tan\beta}{1+ \tan \alpha \tan \beta} \\\cot(\alpha + \beta) & = \frac{1- \tan \alpha \tan \beta}{\tan \alpha + \tan\beta} \\\cot(\alpha - \beta) & = \frac{1+ \tan \alpha \tan \beta}{\tan \alpha - \tan\beta}\end{aligned}##KATEX##
Formule di duplicazione
Siamo pronti a ricavare le formule di duplicazione, ovvero le formule che ci permettono di determinare il valore delle funzioni goniometriche in $2\alpha$ a partire dal valore che esse assumono in $\alpha$.
Iniziamo da $\cos(2\alpha)$. Dato che $2\alpha = \alpha + \alpha$, la formula che cerchiamo è sostanzialmente la formula di addizione del coseno applicata a due angoli di ampiezza $\alpha$: ##KATEX##\begin{aligned} \cos(2\alpha) & = \cos (\alpha + \alpha) = \\ & = \cos \alpha \cos \alpha - \sin \alpha \sin \alpha \\ & = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha \end{aligned}##KATEX##A partire da questo risultato, utilizzando l’identità fondamentale della trigonometria, è possibile mostrare che ##KATEX##\begin{aligned}\cos (2 \alpha) & = 2 \cos^2 \alpha - 1 = \\ & = 1 - 2 \sin^2 \alpha = \\ & = \frac{1-\tan^2 \alpha}{1+\tan^2 \alpha} \end{aligned}##KATEX##anche se bisogna sottolineare che l'ultima formula può essere utilizzata solo se $\alpha \neq \frac{\pi}{2} + k\pi, k \in \mathbb{Z}$.
In maniera del tutto analoga (sfruttando le opportune formule di addizione) si mostrano anche queste formule: ##KATEX##\begin{aligned}\sin(2\alpha) & = 2 \sin \alpha \cos \alpha \\\tan(2 \alpha) & = \frac{2 \tan \alpha}{1-\tan^2\alpha} \\\cot (2 \alpha) & = \frac{\cot^2 \alpha -1}{2 \cot \alpha}\end{aligned}##KATEX##