limite notevole
buongiorno, dov'è la certezza nel dire che lim x->infinito (1+1/x)^x sia per forza l'e di Nepero? anche lim x->infinito (1+1/(x+2))^x mi dà numericamente un valore identico. È ovvio che non ho portato il calcolatore a infinito, questo non posso farlo, ma l'ho portato a 10000, e mi chiedo come si fa a dimostrare che l'e di Nepero è il primo piuttosto che il secondo limite. Grazie, Patrick - [email protected]
il 22 Marzo 2014, da Patrick Muratori
Ciao Patrick! Per definire la e di Nepero si utilizza proprio il concetto di limite, quindi e=lim x--> infinito (1+1/x)^x per definizione. Questo non vuol dire però che non ci siano altri limiti che danno lo stesso valore quando li andiamo a calcolare. Prendiamo l'esempio che hai fatto tu e calcoliamo il valore del limite. lim x-->infinito (1+1/(x+2))^x= =lim x-->infinito [(1+1/(x+2))^(x+2)]/[(1+1/(x+2))^2]= (proprietà delle potenze) ma adesso la parte al denominatore tende a 1 (perché non c'è indeterminatezza e se facciamo tendere x a infinito 1/(x+2) tende a 0) mentre quello che hai al numeratore è solo un altro modo per scrivere la definizione della e. Infatti se cambiamo variabile e mettiamo y=x+2 il numeratore è lim y-->infinito (1+1/y)^y=e quindi il calcolo con la calcolatrice conferma quello che trovi usando il calcolo dei limiti.