limiti
Come si risolve, senza derivate il lim x-> inf. di cos sqrt (x+1) - cos sqrt x
il 03 Giugno 2015, da Antonio Cristofori
Ciao Antonio! Il modo in cui risolverei il limite $$\lim_{x \to +\infty} \cos \left ( \sqrt{x+1} \right ) - \cos \left ( \sqrt{x} \right )$$è il seguente. Per prima cosa utilizzerei le formule di prostaferesi ( https://library.weschool.com/lezione/prostaferesi-formule-werner-dimostrazione-trigonometria-formule-trigonometriche-13409.html ) che applicate al nostro caso ci danno l'uguaglianza $$\cos \left ( \sqrt{x+1} \right ) - \cos \left ( \sqrt{x} \right ) = -2\sin \left ( \frac{\sqrt{x+1} - \sqrt{x}}{2} \right )\sin \left ( \frac{\sqrt{x+1} + \sqrt{x}}{2} \right )$$La differenza di funzioni trigonometriche è quindi diventata un prodotto (sempre di funzioni trigonometriche). Prendiamo il primo fattore: l'argomento della funzione seno è una frazione che al numeratore ha $\sqrt{x+1} - \sqrt{x}$, che per $x \to +\infty$ tende a $0$ (il comportamento di $\sqrt{x+1}$ e $\sqrt{x}$ è lo stesso all'infinito). Dato che $\sin(0)=0$, possiamo dire tranquillamente che $$\sin \left ( \frac{\sqrt{x+1} - \sqrt{x}}{2} \right ) \xrightarrow{x \to +\infty} 0$$Per quanto riguarda il comportamento del secondo fattore, invece, non possiamo dire molto; l'unica cosa che sappiamo è che - essendo una funzione trigonometrica - i suoi valori varieranno tra $-1$ e $1$, e quindi saranno sempre limitati. In conclusione il nostro limite diventa un prodotto tra $-2$, una quantità che va a zero e un'altra quantità che è limitata; il tutto quindi tende a zero, ovvero $$\lim_{x \to +\infty} \cos \left ( \sqrt{x+1} \right ) - \cos \left ( \sqrt{x} \right ) = 0$$Ecco fatto! Se c'è qualcosa che non ti torna, non esitare a farmelo sapere. Buona giornata :)