Trigonometria

Formule di prostaferesi e formule di Werner

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Le formule di prostaferesi e le formule di Werner sono alcune tra le più importanti tra le formule trigonometriche. Queste formule, infatti, permettono di passare a piacimento dalla somma di due funzioni trigonometriche al prodotto di altre funzioni trigonometriche (e viceversa), a patto di modificare adeguatamente gli argomenti.

A partire dalle formule di addizione e sottrazione, possiamo scrivere le seguenti uguaglianze:

\begin{align*}
\sin (\alpha + \beta ) + \sin (\alpha - \beta ) & = 2 \sin \alpha \cos \beta \\
\sin (\alpha + \beta ) - \sin (\alpha - \beta ) & = 2 \cos \alpha \sin \beta \\
\cos (\alpha + \beta ) + \cos (\alpha - \beta ) & = 2 \cos \alpha \cos \beta \\
\cos (\alpha + \beta ) - \cos (\alpha - \beta ) & = -2 \sin \alpha \sin \beta
\end{align*}
Queste uguaglianze ci saranno utili nel seguito per determinare le identità che ci servono.

 

Formule di Werner (prodotto $\to$ somma)

Per ottenere queste formule è sufficiente riordinare le quattro identità che abbiamo ottenuto prima, esplicitando le funzioni trigonometriche che sono moltiplicate fra loro:

\begin{align*}
\sin \alpha \cos \beta & = \frac{1}{2} \left ( \sin (\alpha + \beta ) + \sin (\alpha - \beta ) \right ) \\
\cos \alpha \sin \beta & = \frac{1}{2} \left ( \sin (\alpha + \beta ) - \sin (\alpha - \beta ) \right ) \\
\cos \alpha \cos \beta & = \frac{1}{2} \left ( \cos (\alpha + \beta ) + \cos (\alpha - \beta ) \right ) \\
\sin \alpha \sin \beta & = \frac{1}{2} \left ( \cos (\alpha + \beta ) - \cos (\alpha - \beta ) \right )
\end{align*}
Notiamo che la prima e la seconda uguaglianza sono in realtà equivalenti (basta scambiare $\alpha$ con $\beta$ in una delle due per rendersene conto). In ogni caso queste identità prendono il nome di formule di Werner e, come si può notare, trasformano il prodotto di due funzioni trigonometriche in somma di altre funzioni trigonometriche, a patto di cambiarne gli argomenti.

 

Formule di prostaferesi (somma $\to$ prodotto)

Per ottenere queste formule dobbiamo per prima cosa introdurre delle nuove variabili $s$ e $d$: $$\begin{cases} s = \alpha + \beta \\ d = \alpha - \beta \end{cases}$$Risistemando il tutto, otteniamo: $$\begin{cases} \alpha = \frac{s + d}{2} \\ \beta = \frac{s - d}{2} \end{cases}$$Con questi nuovi “ingredienti” possiamo semplicemente riscrivere le identità ottenute all’inizio della lezione:
\begin{align*}
\sin s  + \sin d  & = 2 \sin \left ( \frac{s + d}{2} \right )  \cos \left ( \frac{s - d}{2} \right )  \\
\sin s - \sin d & = 2 \cos \left ( \frac{s + d}{2} \right )  \sin \left ( \frac{s - d}{2} \right )  \\
\cos s + \cos d & = 2 \cos\left ( \frac{s + d}{2} \right )  \cos \left ( \frac{s - d}{2} \right )  \\
\cos s - \cos d & = -2 \sin \left ( \frac{s + d}{2} \right )  \sin \left ( \frac{s - d}{2} \right )
\end{align*}
Queste formule sono valide per qualsiasi scelta di $s$ e $d$ (possiamo cioè “dimenticarci” il modo in cui abbiamo definito $s$ e $d$, e considerarle semplicemente come variabili qualsiasi) e prendono il nome di formule di prostaferesi: vediamo che queste identità permettono di trasformare una somma di funzioni trigonometriche in un prodotto di altre funzioni trigonometriche.
Sottolineiamo inoltre che, come accadeva per le formule di Werner, è possibile mostrare che la prima e la seconda identità sono in realtà equivalenti.

 

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