limiti (forma indeterminata)

Ciao Diana! Innanzitutto, cerchiamo di capire di che funzione si tratta. Per caso è questa?$$ f(x) = \sqrt[3]{x^3 - x^2} - x $$Inoltre, non capisco il titolo della domanda: dov'è il limite? Te lo sei dimenticato? Ad ogni buon conto, ti rimando al nostro contenuto sulle forme di indeterminazione: https://library.weschool.com/lezione/limiti-notevoli-dimostrazioni-5918.html. Fammi sapere :3 Ciao e buona giornata!

Ciao Giovanni grazie per aver risposto! La funzione è quella che hai scritto tu! Il limite è per X che tende a +infinito (me lo sono proprio dimenticato, colpa delle ore piccole!) - Diana Istrate 13 Novembre 2015

Ciao Diana! Metto la risposta così, di modo che tutti possano vederla. L'avevo sospettato che $x \to +\infty$. Se l'esercizio dice di usare la differenza di due cubi usiamola... Ma tieni presente che ci sono altri modi per fare il limite, un po' più furbi (la sostituzione $t = \frac{1}{x}$ e qualche limite notevole). Il limite che vogliamo calcolare è$$ \lim_{x \to +\infty} \sqrt[3]{x^3 - x^2} - x $$Il prodotto notevole lo trovi qui https://library.weschool.com/lezione/prodotti-notevoli-somma-differenza-cubi-cubo-binomio-quadrato-trinomio-3197.html. Quel che ti vogliono spingere a fare è "eliminare" la radice cubica, elevandola al cubo; possiamo quindi considerare $\sqrt[3]{x^3 - x^2} - x$ come la parte lineare del prodotto notevole: per ottenere la differenza di due cubi, moltiplichiamo e dividiamo per il falso quadrato $\left(\sqrt[3]{x^3 - x^2}\right)^2 + x\sqrt[3]{x^3 - x^2} + x^2$, ottenendo l'espressione$$ \sqrt[3]{x^3 - x^2} - x = \frac{ x^3 - x^2 - x^3 }{\left(\sqrt[3]{x^3 - x^2}\right)^2 + x\sqrt[3]{x^3 - x^2} + x^2} = \frac{- x^2 }{\left(\sqrt[3]{x^3 - x^2}\right)^2 + x\sqrt[3]{x^3 - x^2} + x^2}$$Manipoliamo un po' il denominatore: all'interno delle radici raccogliamo $x^3$, lo portiamo fuori dal radicale (cosa che possiamo fare, guarda qui https://library.weschool.com/lezione/portare-trasporto-fuori-dentro-radice-esercizi-operazioni-con-i-radicali-proprieta-15774.html) e otteniamo, dopo un po' di conti, l'espressione seguente:$$x^2 \left(1 + \left(1 - \frac{1}{x}\right)^{\frac{1}{3}} + \left(1 - \frac{1}{x}\right)^{\frac{2}{3}}\right)$$Adesso siamo contenti: gli $x^2$ si semplificano, e otteniamo la forma, molto più carina,$$ \frac{- 1 }{ 1 + \left(1 - \frac{1}{x}\right)^{\frac{1}{3}} + \left(1 - \frac{1}{x}\right)^{\frac{2}{3}} }$$Dopo avere fatto tutte queste manipolazioni algebriche, eseguiamo il limite per $x \to +\infty$: i termini $\frac{1}{x}$ vanno a $0$, lasciandoci con un bel $\frac{-1}{1+1+1}$, cioè $-\frac{1}{3}$. Spero che ti sia tutto chiaro! Se hai dubbi, chiedi pure :3

Sì, la risposta è -1/3 come c'è scritto anche sul mio libro. Mi ero decisamente persa con il raccoglimento totale al denominatore ma ora è tutto più chiaro! Ti ringrazio tanto mi sei stato di grande aiuto! - Diana Istrate 13 Novembre 2015