Massimi e Minimi di funzioni in più variabili (Analisi 2):
Rieccomi dopo tanto tempo, volevo esporre un dubbio che mi si è presentato nel momento in cui ho iniziato a svolgere vari esercizi riguardanti l'argomento. La tipologia di esercizio nella quale mi sono abbattuto consiste nell'avere una funzione, in 2/3 variabili e viene chiesto di individuarne i punti critici.Nel momento in cui verifico la condizione necessaria, dunque trovo le derivate parziali rispetto alle variabili, le pongo in un sistema e vedo dove tali derivate si annullano, identifico il punto dove dovrò analizzare i valori della Matrice Hf(x,y,...,n) e da qui capire se il punto analizzato è minimo, massimo, di sella. Ora il dubbio mi si presentava in un'occasione particolare: nel momento in cui costruisco la mia matrice, non sempre capita che essa sia diagonale, Spesso capita soltanto che sia simmetrica e dunque devo procedere analizzandone il determinante. Ora, sapendo che il determinante altro non è se non il prodotto degli autovalori della matrice, nel caso in cui dovesse verificarsi che il determinante venga fuori negativo, so che sarà un punto di sella in quanto sarà il prodotto tra autovalori positivi e negativi (mi riferisco al caso di una matrice 2x2), invece nel caso venisse fuori positiva, potrebbe essere data dal prodotto di autovalori positivi o autovalori negativi e dunque potrebbe essere un punto di massimo oppure di minimo, inoltre nel caso di una matrice 3x3 la questione si complicherebbe ulteriormente. Dunque la domanda è: come faccio nel caso di una matrice simmetrica e non diagonale a determinare tramite il determinante la natura del punto analizzato? Esiste un metodo differente per venirne a capo? Grazie in anticipo.
il 29 Novembre 2015, da Mattia Mangia
Ciao Mattia, bentornato! Abbiamo freschi freschi un po' di contenuti sulle funzioni in più variabili: ti indirizzo subito a quello che riguarda l'Hessiana https://library.weschool.com/lezione/matrice-hessiana-laplaciano-teorema-di-schwarz-hessiano-punto-di-sella-15704.html. Il testo tratta solo di funzioni $f: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}$. Questo è un caso molto particolare. In generale, se ho una matrice diagonalizzabile, il suo determinante è il prodotto degli autovalori, mentre la sua traccia è la somma di tutti gli autovalori. Più in generale, consideriamo una matrice $A$, di dimensioni $n \times n$ e diagonalizzabile, ed il suo polinomio caratteristico $\chi_A (t) = a_n t^n + \dots a_0 $; chiamiamo $\lambda_1, \dots, \lambda_n$ i suoi autovalori (so che ce ne sono $n$, dato che è diagonalizzabile, ed eventualmente alcuni $\lambda_j$ si ripetono). I coefficienti del polinomio caratteristico sono legati agli autovalori da questa relazione: il $k-$esimo coefficiente, $a_k$, è uguale alla somma di tutti i prodotti possibili di gruppi di $n-k$ autovalori, che sono $\binom{n}{k}$, moltiplicata per $(-1)^k$. Per esempio, $a_0$ sarà sempre $(-1)^n$, $a_{n-1}$ sarà sempre $(-1)^{n-1} (\lambda_1 + \dots + \lambda_n) = (-1)^{n-1} \text{Tr}(A)$, e $a_0$ sarà sempre il determinante di $A$. Per una matrice $2 \times 2$, sarà quindi sempre $\chi_A(t) = t^2 - \text{Tr}(A) t + \text{det}(A)$. La cosa bella è che determinante e traccia sono invarianti per similitudini... Quindi non importa che la matrice sia in forma diagonale o meno: basta che sia diagonalizzabile! Con brevi implicazioni logiche, illustrate nel contenuto, dal segno di determinate e traccia (che nel nostro caso sono rispettivamente l'hessiano e il laplaciano) si arriva ai segni degli autovalori e, quindi, a una classificazione dei punti stazionari. Per matrici di dimensioni leggermente maggiori, cioè $3 \times 3$, mi devo sporcare le mani un po' di più, perché a questo punto il polinomio caratteristico è di terzo grado e i ragionamenti sui segni si complicano non poco: il polinomio è $\chi_A (t) = -t^3 + \text{Tr}(A) t^2 - a_1 t + \text{det}(A)$, dove $a_1$ è la somma dei minori $2 \times 2$ a cavallo della diagonale, ossia$$\begin{array}{|cc|}a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{array} + \begin{array}{|cc|}a_{22} & a_{23} \\ a_{32} & a_{33} \end{array} + \begin{array}{|cc|}a_{11} & a_{13} \\ a_{31} & a_{33} \end{array}$$Quello che ti consiglio è di trovare le radici del polinomio caratteristico, che sono gli autovalori poi, e procedere la lì. Se ti servono ulteriori chiarimenti, chiedi pure :D Ciao e buona giornata.
Perfetto, come sempre grazie mille per il chiarimento! :D - Mattia Mangia 01 Dicembre 2015