Matematica, studio funzione

Ciao Leonardo! Lascia che riscriva la tua funzione per capire se siamo sulla stessa pagina:$$ f(x) = \frac{1+\log_{10}\left( |x| \right)}{1- \ln (|x|) } $$In generale bisognerebbe seguire i passaggi che riassumiamo in questo contenuto: https://library.weschool.com/lezione/studio-di-funzione-lista-delle-cose-da-fare-7604.html. Ma in questo caso, la prima cosa che noterei, ancora prima di porre le condizioni di esistenza, è notare che la funzione sia pari, ossia, $f(x) = f(-x)$. Riassumiamo il tutto qui: https://library.weschool.com/lezione/esempi-di-funzione-pari-dispari-periodica-simmetria-assi-cartesiani-10446.html. Ma che cosa vuol dire che una funzione è pari? nella pratica, vuol dire che tutto ciò che accade a destra dell'asse $y$ accade, allo stesso modo, anche a sinistra. Quindi possiamo limitarci a studiare il caso $x > 0$, e dire che tutto quel che scopriamo per un valore positivo di $x$ si replicherà per lo stesso valore negativo. Questo è molto comodo perché, tra le altre cose, ci permette di togliere i moduli! Allora studieremo $$ \frac{1 + \log_{10}(x)}{1 - \ln(x)} \quad \text{ per } x \geq 0$$Meglio, no? Le condizioni di esistenza sono, beh, $x \neq 0$ (che otteniamo dal porre $|x| > 0$ nel logaritmo della prima espressione di $f$, oppure ponendo $x > 0$ nella seconda espressione, ed intersecando questa condizione con quella che abbiamo posto noi, aggiuntiva, che $x \geq 0$). Poi abbiamo una frazione, e quindi occorre porre $1 - \ln(x) \neq 0$, che vuol dire $x \neq e$, il che si "sdoppia" in $x \neq \pm e$ per la funzione originale :3 Adesso proseguiamo con i limiti agli estremi del dominio, gli zeri, la derivata ecc.; ma prima, un ultimo trucco per rendere tutto più facile. Avere due logaritmi in basi differenti è un po' fastidioso, sopratutto quando abbiamo a che fare con le derivate. Allora, trasformiamo $\log_{10}$ in un logaritmo naturale (se non ti ricordi la formula di cambio di base dei logaritmi, guarda qui https://library.weschool.com/lezione/come-cambiare-base-al-logaritmo-quali-sono-proprieta-dei-logaritmi-9372.html). Con questo nuovo accorgimento avremo una forma un po' più agevole per fare i conti: $$ \frac{1 + \frac{\ln(x)}{\ln(10)}}{1- \ln(x)} = \frac{1}{\ln(10)} \frac{\ln(10) + \ln(x)}{1 - \ln(x)} $$Prova a fare i conti adesso: dovrebbe essere più facile :D Fammi sapere se hai ancora dei dubbi. Ciao e buona giornata!

Grazie mille, mi hai risolto molti problemi ! :D Vorrei solo sapere nel caso in cui invece la funzione non sia nè pari, nè dispari cosa devo fare? Dovrò studiare separatamente le due funzioni ? In particolare quando andrò a fare le derivate prima e seconda i risultati ottenuti devono essere messe a sistema ? - Leonardo Marzola 20 Febbraio 2016

Sì, in assenza di simmetrie particolari occorre "spezzare" la funzione in due universi del tutto separati; come studiare due funzioni diverse, ciascuna con un proprio dominio. Ogni volta che studio qualcosa di un "pezzo" della funzione, i risultati della mia analisi devono essere riferiti solo al dominio, all' "universo", in cui esiste. Ad esempio, la funzione $f(x) = | x + 1 |$ si spezza in $x +1$ per $x > -1$ e $-x -1 $ per $x < -1$; di per sé, $y = x+1 $ è una funzione crescente su tutto $\mathbb{R}$, ma nel nostro caso dobbiamo restringerci solo a $x > -1$; allo stesso modo, $y = -x-1$ è decrescente su tutto $\mathbb{R}$, ma per $f$ il gioco vale solo se $x < -1$; in definitiva questa $f$ sarà crescente per $x > -1$ e decrescente per $x < -1$. "Mettere a sistema" è un'espressione un po' abusata, si possono mettere a sistema tante cose: che cosa intenti in particolare? - Giovanni Barazzetta 23 Febbraio 2016

nel senso che per esempio nello studio del segno o delle derivate io avrò diverse soluzioni per le due funzioni. Visto che ho il modulo dovrò studiare due funzioni nel caso la funzione di partenza non fosse nè pari nè dispari. Studiando la derivata prima per esempio avrò soluzioni per la funzione I e altre soluzioni per la funzione II. Devo mettere a sistema queste soluzioni per trovare una soluzione finale ? - Leonardo Marzola 26 Febbraio 2016

Come la metti giù tu, non vanno messe a sistema. Mi spiego meglio: diciamo che la funzione $f$ si "spezza" in due funzioni: $f_+$ ed $f_-$, che esistono solo in $C_+$ e $C_-$ (che sono gli insiemi in cui $f > 0$ ed $f < 0$); facciamo finta che dobbiamo risolvere un'equazione o una disequazione che coinvolge $f$ o la sue derivate; facendo i conti con $f_+$ arriviamo ad una soluzione $S_+$ e per $f_-$ abbiamo $S_-$. Adesso, dobbiamo scartare tutti i risultati di $S_+$ che non vivono in $C_+$, e idem per $S_-$ quelle soluzioni che non sono dentro $C_-$ non vanno considerate: per far questo dobbiamo fare l'intersezione $S_+ \cap C_+$ e $S_- \cap C_-$, che corrisponde a mettere a sistema le condizioni che definiscono $S_+$ con quelle che definiscono $C_+$ e un ragionamento analogo per $S_-$ e $C_-$; poi, la "soluzione finale" si ottiene considerando tutti i risultati così trovati: insiemisticamente, facciamo l'unione $ ( S_+ \cap C_+ ) \cup (S_- \cap C_-)$. Per come l'hai scritta tu, sembrava intendessi $S_+ \cap S_-$, che è sbagliato. Spero sia tutto chiaro! Ciao e buona giornata. - Giovanni Barazzetta 01 Marzo 2016