Matrici teoriche
Siano A e B due matrici quadrate di ordine 4. Se AB=matrice nulla di ordine 4 e det. A diverso da 0, allora B invertibile. Perchè è un'asserzione FALSA?
il 20 Dicembre 2016, da Myriam Pappalardo
Ciao Myriam! Allora, l'asserzione che dici è falsa per due motivi: primo, una condizione sull'invertibilità delle matrici quadrate, che spieghiamo qui https://library.weschool.com/lezione/matrice-invertibile-inversa-calcolo-matrice-inversa-2x2-14337.html; secondo, il teorema di Binet, che trovi invece qui https://library.weschool.com/lezione/determinante-matrice-3x3-complemento-algebrico-teorema-laplace-binet-14335.html. Per il teorema di Binet, sappiamo che il prodotto dei determinanti di $A$ e $B$ è uguale al determinante di $A \cdot B$. Se il determinante di $A$ è non nullo e $A \cdot B$ è una matrice nulla (con determinante pari a $0$), segue che, necessariamente, il determinante di $B$ deve essere $0$. Ma questo è in contraddizione con l'affermazione "B invertibile", dato che una matrice invertibile ha determinante non nullo. L'asserzione, quindi, è falsa. Spero sia tutto chiaro! Se ha dubbi o domande, chiedi pure! Ciao e buona serata :3
Innanzitutto grazie per la risposta, che ho visto solo adesso perchè non ricevuto alcuna notifica. Non riuscivo a capire il motivo della falsità dell'asserzione perchè la legge di annullamento del prodotto so che non vale nelle matrici, ma nei determinanti ovviamente si. Quindi non mi è stato immediato capire che B doveva essere per forza 0 ( o marice nulla, penso sia lo stesso). Grazie ancora! - Myriam Pappalardo 27 Dicembre 2016