Minimo e max assoluti in un intervallo
Salve facendo gli esercizi mi è venuto un dubbio ho la funzione 1/(x-1) definita nell'intervallo [2,4] i punti candidati ad essere min o max sono 2,4 ma anche dove la derivata non è definita cioè 1 ma se sostituisco viene infinito, se sost 2 viene 1 e se sost 4 viene 1/3 com'è possibile che venga infinito? 1 non fa parte nè del dominio nè della derivata lo devo prendere in considerazione lo stesso?
il 21 Novembre 2015, da Miriam Di Sarno
Ciao Miriam. Se ho capito bene tu stai cercando i massimi e minimi della funzione $f(x) = \frac{1}{x-1}$ all’interno dell’intervallo $[2, 4]$, ma da quello che mi dici mi sembri un po’ confusa! Cerco di fare chiarezza. Allora, per prima cosa è importante notare che $1$ non è da prendere in considerazione nel nostro esercizio, per due ottimi motivi: 1) $1$ non appartiene all’intervallo che stiamo studiando; 2) $1$ non appartiene nemmeno al dominio di $f$ (è infatti sbagliato dire che sostituendo $1$ nella funzione “viene infinito”, dato che “infinito” non è un numero reale ma è solo un modo per dire che avvicinandoci a $1$ la funzione cresce arbitrariamente). Poi è importante ricordare il teorema di Weierstrass (che trovi spiegato qui: https://library.weschool.com/lezione/weierstrass-teorema-massimo-minimo-funzione-analisi-matematica-14373.html) che ci garantisce che nell’intervallo chiuso e limitato $[2,4]$ troviamo sicuramente almeno un punto di massimo e un punto di minimo per la funzione $f$, che è continua in questo intervallo. Per sapere quali sono questi punti, occorre studiare la derivata: si vede facilmente che è sempre negativa, il che ci fa capire che $f$ è sempre decrescente (come spiegato qui: https://library.weschool.com/lezione/segno-della-derivata-prima-e-monotonia-di-una-funzione-7078.html). Quindi il punto “più a sinistra” del nostro intervallo (cioè $2$), se sostituito nella funzione, darà il valore massimo (cioè $1$); invece il punto “più a destra” (cioè $4$) darà il valore minimo (cioè $\frac{1}{3}$). Questi sono massimi e minimi $\text{relativi}$ all’intervallo che stiamo studiando, e non assoluti (anzi, la funzione non ammette massimi e minimi assoluti, dato che vicino a $1$ essa assume valori arbitrariamente grandi o arbitrariamente piccoli). Meglio adesso? Fammi sapere :)