Numeri complessi

Ciao Valeria. Intanto provo a riscrivere i numeri complessi dell’esercizio, per vedere se ho capito bene: nel caso fossero sbagliati fammi sapere! ##KATEX##\begin{aligned} z_1 & = k+1-4ki \\ z_2 & = 9+k-\frac{3}{2}i - \frac{5}{2}ki \\ z_3 & = k(k+2) - \left ( k^2+\frac{2}{3} \right ) +ki- \frac{2}{3}i \end{aligned}##KATEX##Per prima cosa conviene risistemarli in modo da esplicitare parte reale e parte immaginaria: ##KATEX##\begin{aligned} z_1 & = (k+1)+(-4k)i \\ z_2 & = (9+k)+ \left ( -\frac{3}{2} - \frac{5}{2}k \right )i \\ z_3 & = \left ( k(k+2) - k^2 - \frac{2}{3} \right ) +\left ( k- \frac{2}{3} \right ) i \end{aligned}##KATEX##A questo punto, come dicevi tu, per ciascun numero complesso devi porre parte reale uguale a zero: questo ti fornirà il valore di $k$ che stavi cercando (o potenzialmente più di un valore, dipende da com’è fatta la parte reale). A questo punto l’esercizio... è concluso! :D Quello che puoi fare eventualmente è sostituire in ciascun numero complesso $z_i$ il valore di $k$ che hai ottenuto ponendo $\text{Re}(z_i) = 0$ per vedere com’è fatto il numero immaginario, ma l’esercizio ti chiede solamente di trovare i valori di $k$ per cui i numeri complessi sono puramente immaginari, quindi potremmo tranquillamente fermarci prima. L’unico caso che (forse) crea un po’ di problemi è quando sia la parte reale che la parte immaginaria sono uguali a zero, cioè quando $z_i = 0$, ma è una sorta di “caso limite”: lo zero può essere considerato come l’unico numero contemporaneamente immaginario e reale, oppure solo come un numero reale. In ogni caso, il risultato del tuo esercizio è questo (riporto anche il valore di ciascun $z_i$ per completezza): ##KATEX##\begin{aligned} k = -1 \quad & \Rightarrow \quad z_1 = 4i \\ k = -9 \quad & \Rightarrow \quad z_2 = 21i \\ k = \frac{1}{3} \quad & \Rightarrow \quad z_3 = -\frac{1}{3}i \end{aligned}##KATEX##Spero di esserti stato utile :) Buona giornata!

Grazie mille! E invece se devo trovare due numeri a e b in modo che due numeri complessi siano uguali, devo porre la parte reale del primo numero complesso uguale alla parte reale del secondo e la parte immaginaria del primo numero complesso uguale alla parte immaginaria del secondo e risolvere il sistema? - Valeria Rossi 20 Luglio 2015

Direi di sì! A volte è più comodo mettere i numeri in forma trigonometrica e fare i conti con il numero complesso in quella forma (e quindi porre raggio e argomento uguali, anziché parte reale e parte immaginaria) ma dipende moltissimo dall'esercizio. Intanto ti segnalo questa lezione se vuoi rinfrescarti un po' le varie definizioni: https://library.weschool.com/lezione/modulo-numero-complesso-coniugato-teorema-fondamentale-algebra-piano-di-gauss-14359.html. Ciao :) - Michele Ferrari 20 Luglio 2015