Numeri Quantici e Funzione d'onda

Ciao Maria! Dunque. L'equazione di Schrödinger è l'equazione fondamentale della meccanica quantistica, possiamo dire che il suo equivalente in meccanica classica è il famoso $F = ma$. L'equazione di Schrödinger, nella sua forma più generale, è $ \hat{H} \Psi = i \hbar \frac{\partial}{\partial t } \Psi$. Presenta come incognita una funzione, detta funzione d'onda e denotata con $\Psi$, che associa ad una posizione dello spazio $(\mathbf{x},\mathbf{y},\mathbf{z})$ e ad un istante $t$ un numero complesso, appunto $\Psi (\mathbf{x},\mathbf{y},\mathbf{z},t)$; il modulo di questo numero complesso, $ | \Psi (\mathbf{x},\mathbf{y},\mathbf{z},t) | $ (che puoi calcolare come spieghiamo qui https://library.weschool.com/lezione/modulo-numero-complesso-coniugato-teorema-fondamentale-algebra-piano-di-gauss-14359.html), viene interpretato come la probabilità di una particella (rappresentata dalla funzione d'onda $\Psi$) di trovarsi nella posizione $(\mathbf{x},\mathbf{y},\mathbf{z})$ all'istante $t$. L'equazione non ha un risultato, ma una soluzione, appunto la funzione d'onda. Conoscendo l'espressione della funzione d'onda è possibile calcolarne il modulo, che come detto viene interpretato come probabilità. L'equazione, nella sua forma più generale, non ha una soluzione, o meglio non è possibile ricavare l'espressione esatta della soluzione generale: è un'equazione differenziale è a valori complessi, alle derivate parziali e lineare: noi diamo un assaggio della trattazione delle equazioni differenziali qui https://library.weschool.com/lezione/equazioni-differenziali-ordinarie-soluzione-equazione-differenziale-16443.html, ma ci limitiamo al caso ordinario (funzione di una variabile reale a un valore reale), mentre in Schrödinger abbiamo una funzione di quattro variabili reali a valori complessi. Però non dobbiamo scoraggiarci: conosciamo molte proprietà delle soluzioni, come ad esempio quella di comportarsi come un'onda (da cui il nome). Per trovare una soluzione particolare dell'equazione dobbiamo specificare dei valori o dei parametri: ad esempio, ridurre le coordinate spaziali (un'onda / particella che si propaga solo lungo una direzione) o fornire alcuni numeri quantici. I numeri quantici hanno un ruolo molto importante nello studio della meccanica quantistica. Il loro equivalente classico sono le costanti del moto, come ad esempio l'energia meccanica, che permettono di risolvere l'equazione di Newton. I numeri quantici si calcolano a partire da una funzione d'onda particolare con delle operazioni matematiche che, in opportune condizioni (onda ad una dimensione, ad esempio) possono "assomigliare" a delle moltiplicazioni. Ad esempio, il numero quantico orbitale $\ell$ si ricava dal momento angolare $\mathbf{L}$ (la versione della meccanica classica la spieghiamo qui https://library.weschool.com/lezione/momento-angolare-momento-inerzia-momento-della-quantita-di-moto-14813.html) dall'equazione $\mathbf{L}^2 = \hbar^2 \ell(\ell + 1)$, dove nel membro a destra abbiamo effettivamente il prodotto di tre numeri, ma nel membro a sinistra dobbiamo stare attenti a che cosa vuol dire quel "quadro". Se ti interessano tutte le relazioni che ci permettono di esplicitare i numeri quantici, sono a disposizione ma devo un po' ripassare l'argomento, perché non me lo ricordo molto bene! Per il resto spero di aver chiarito i tuoi dubbi: se hai altre domande, chiedi pure! Ciao e buona serata :3