Possibile applicazione delle forme quadratiche ad un sistema con equazioni di secondo grado, Numeri complessi.

Ciao Mattia, bentornato! Sono contento che l’esame di Geometria sia andato bene, ci dai soddisfazione :D Veniamo al quesito che hai posto. Prima di parlare di forme quadratiche, volevo proporti un altro metodo di risoluzione dell’esercizio, che fa uso delle proprietà dei numeri complessi (quelle principali puoi trovarle qui se hai bisogno di un ripassino: https://library.weschool.com/lezione/modulo-numero-complesso-coniugato-teorema-fondamentale-algebra-piano-di-gauss-14359.html). Ricordando che $\lvert z \rvert^2 = z \cdot \overline{z}$ possiamo riscrivere la tua equazione in questo modo $$iz^2 - z \cdot \overline{z} = 0 \quad \Rightarrow \quad iz \cdot (z + i \overline{z}) = 0$$In questo modo si vede facilmente che le soluzioni per la nostra equazione sono $z=0$ oppure tutti i numeri complessi che soddisfano la proprietà $z + i \overline{z} = 0$; passando alla forma algebrica $z = x + iy$ si vede subito che questa condizione è equivalente a richiedere che $x = -y$. In forma algebrica l’insieme delle soluzioni è quindi $$S = \{z \in \mathbb{C} \ \vert \ z = x-ix, x \in \mathbb{R} \}$$Veniamo adesso alla tua domanda. Se trasformiamo direttamente $z$ in forma algebrica, l’equazione diventa equivalente a questo sistema (occhio ai conti, i tuoi sono sbagliati): $$\begin{cases} -x^2 - y^2 - 2xy = 0 \\ x^2 - y^2 = 0 \end{cases}$$che è un sistema di secondo grado di due equazioni in due incognite. La prima equazione può essere interpretata come il nucleo della forma quadratica $\Phi_1: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}$ rappresentata dalla matrice $\left ( \begin{smallmatrix} -1 & -1 \\ -1 & -1 \end{smallmatrix} \right )$, mentre le soluzioni della seconda equazione formano il nucleo della forma quadratica $\Phi_2$ con matrice rappresentativa $\left ( \begin{smallmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{smallmatrix} \right )$. Nel piano cartesiano $Oxy$, $ker(\Phi_1)$ e $ker(\Phi_2)$ sono delle coniche degeneri: $ker(\Phi_1)$ è la retta $y = -x$ contata due volte (lo si capisce anche dal fatto che la prima equazione è equivalente a questa: $(x+y)^2 = 0$) mentre $ker(\Phi_2)$ è l’insieme delle rette $y=x$ e $y=-x$ (anche stavolta si può capire dal fatto che la seconda equazione è equivalente a questa: $(x+y)(x-y)=0$). In ogni caso non c’è un collegamento immediato con le forme quadratiche che mi salta all’occhio, se non quello di interpretare il loro nucleo nel modo che abbiamo fatto adesso (se mi viene in mente qualcosa di più specifico ti faccio sapere). Se cerchi invece un modo facile di risolvere il sistema che mi hai proposto, direi che la cosa più semplice da fare è questa: se facciamo la sostituzione $a:=x+y, b:x-y$ allora il sistema diventa facilissimo: $$\begin{cases} a^2 = 0 \\ ab = 0 \end{cases}$$che mostra come l’insieme delle soluzioni sia dato da $a=0$, che coincide proprio con i numeri complessi che soddisfano la relazione $y = -x$. Bene, direi che abbiamo risolto questo esercizio in fin troppi modi ;)

Perfetto, grazie mille :D :D - Mattia Mangia 24 Giugno 2015