Principio di induzione

3∑i=1n(1/(i^2-i)=n/(n+1),∀n∈N∗


il 19 Settembre 2015, da Andrea Manisi

Michele Ferrari il 21 Settembre 2015 ha risposto:

Ciao Andrea. Il testo dell’esercizio che ci hai proposto lo intendo così: 3i=1n1i2i=nn+1nN3 \cdot \sum_{i=1}^n \frac{1}{i^2-i} = \frac{n}{n+1} \qquad \forall n \in \mathbb{N}^*Se questo è effettivamente il testo ti comunico che è sbagliato: probabilmente hai trascritto male. Ricontrolla, per favore! Invece, quello che è possibile dimostrare con il principio di induzione - e che si può dimostrare con la stessa tecnica spiegata qui: https://library.weschool.com/domanda/principio-di-induzione-15319.html - è che valgono le seguenti due uguaglianze: i=1n1i2+i=nn+1i=2n1i2i=n1n\begin{aligned} \sum_{i=1}^n \frac{1}{i^2+i} & = \frac{n}{n+1} \\ \sum_{i=2}^n \frac{1}{i^2-i} & = \frac{n-1}{n} \end{aligned}Magari tra queste c’è quella che volevi proporci... :) In ogni caso, per imparare a fare questi esercizi, il mio consiglio è: buttati! L’idea che ci sta dietro è sempre la stessa: dimostri che la formula è vera al passo iniziale; poi, utilizzando il fatto che la formula sia vera al passo nn, si dimostra la veridicità della relazione al passo n+1n+1 cercando di utilizzare proprio la relazione al passo nn (che sappiamo essere valida). Buona fortuna :D


spiegami precisamente come devo fare - Andrea Manisi 21 Settembre 2015

Prima mi piacerebbe sapere qual è l'esercizio che devi fare... - Michele Ferrari 21 Settembre 2015

∑i=1n(1/(i(i+1)=n/(n+1), n∈N∗ - Andrea Manisi 21 Settembre 2015

Prima verifichi se la relazione è vera per n=1n=1: i=111i2+i=11+1=12\sum_{i=1}^1 \frac{1}{i^2+i} = \frac{1}{1+1} = \frac{1}{2}Dato che n=1n=1, allora anche nn+1\frac{n}{n+1} è uguale a 12\frac{1}{2}: quindi abbiamo dimostrato il primo passo. Dopodichè supponiamo che sia vera l’uguaglianza per nn generico, cioè che sia vera la seguente: i=1n1i2+i=nn+1\sum_{i=1}^n \frac{1}{i^2+i} = \frac{n}{n+1}e vogliamo dimostrare che è vera quest’altra: i=1n+11i2+i=(n+1)(n+1)+1=(n+1)(n+1)+1\sum_{i=1}^{n+1} \frac{1}{i^2+i} = \frac{(n+1)}{(n+1)+1} = \frac{(n+1)}{(n+1)+1} L’idea è sempre la stessa, cioè partire da i=1n+1f(i)\sum_{i=1}^{n+1} f(i), spezzarlo in due parti e tentare di fare qualche conto per dimostrare quello che vogliamo. Nel nostro casoi=1n+11i2+i=i=1n1i2+i+1(n+1)2+(n+1)=nn+1+1(n+1)2+(n+1)\sum_{i=1}^{n+1} \frac{1}{i^2+i} = \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{i^2+i} + \frac{1}{(n+1)^2+(n+1)} = \frac{n}{n+1} + \frac{1}{(n+1)^2+(n+1)}Il compito si riduce a mostrare che la quantità ottenuta è uguale a n+1n+2\frac{n+1}{n+2}, cosa che si può mostrare con semplici operazioni algebriche. - Michele Ferrari 23 Settembre 2015