Principio di induzione

Ciao Andrea. Il testo dell’esercizio che ci hai proposto lo intendo così: $$3 \cdot \sum_{i=1}^n \frac{1}{i^2-i} = \frac{n}{n+1} \qquad \forall n \in \mathbb{N}^*$$Se questo è effettivamente il testo ti comunico che è sbagliato: probabilmente hai trascritto male. Ricontrolla, per favore! Invece, quello che è possibile dimostrare con il principio di induzione - e che si può dimostrare con la stessa tecnica spiegata qui: https://library.weschool.com/domanda/principio-di-induzione-15319.html - è che valgono le seguenti due uguaglianze: ##KATEX##\begin{aligned} \sum_{i=1}^n \frac{1}{i^2+i} & = \frac{n}{n+1} \\ \sum_{i=2}^n \frac{1}{i^2-i} & = \frac{n-1}{n} \end{aligned}##KATEX##Magari tra queste c’è quella che volevi proporci... :) In ogni caso, per imparare a fare questi esercizi, il mio consiglio è: buttati! L’idea che ci sta dietro è sempre la stessa: dimostri che la formula è vera al passo iniziale; poi, utilizzando il fatto che la formula sia vera al passo $n$, si dimostra la veridicità della relazione al passo $n+1$ cercando di utilizzare proprio la relazione al passo $n$ (che sappiamo essere valida). Buona fortuna :D

spiegami precisamente come devo fare - Andrea Manisi 21 Settembre 2015

Prima mi piacerebbe sapere qual è l'esercizio che devi fare... - Michele Ferrari 21 Settembre 2015

∑i=1n(1/(i(i+1)=n/(n+1), n∈N∗ - Andrea Manisi 21 Settembre 2015

Prima verifichi se la relazione è vera per $n=1$: $$\sum_{i=1}^1 \frac{1}{i^2+i} = \frac{1}{1+1} = \frac{1}{2}$$Dato che $n=1$, allora anche $\frac{n}{n+1}$ è uguale a $\frac{1}{2}$: quindi abbiamo dimostrato il primo passo. Dopodichè supponiamo che sia vera l’uguaglianza per $n$ generico, cioè che sia vera la seguente: $$\sum_{i=1}^n \frac{1}{i^2+i} = \frac{n}{n+1}$$e vogliamo dimostrare che è vera quest’altra: $$\sum_{i=1}^{n+1} \frac{1}{i^2+i} = \frac{(n+1)}{(n+1)+1} = \frac{(n+1)}{(n+1)+1} $$L’idea è sempre la stessa, cioè partire da $\sum_{i=1}^{n+1} f(i)$, spezzarlo in due parti e tentare di fare qualche conto per dimostrare quello che vogliamo. Nel nostro caso$$\sum_{i=1}^{n+1} \frac{1}{i^2+i} = \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{i^2+i} + \frac{1}{(n+1)^2+(n+1)} = \frac{n}{n+1} + \frac{1}{(n+1)^2+(n+1)}$$Il compito si riduce a mostrare che la quantità ottenuta è uguale a $\frac{n+1}{n+2}$, cosa che si può mostrare con semplici operazioni algebriche. - Michele Ferrari 23 Settembre 2015