Problema ellisse
Determina i valori di k in modo che sia verificata la seguente uguaglianza: (k+3) elevato a k-1 = 1 In corrispondenza del valore negativo trovato, calcola l’area dell’ellisse avente i fuochi di ascissa uguale a 3, semiasse minore di misura uguale a 2, il centro di ordinata uguale a k e passante per il punto ( 3/2 ; √14 - 4 tutto fratto 2).
il 28 Agosto 2015, da Dennis Izzo
Ciao Dennis! Dunque dunque. Siamo innanzitutto d'accordo che dobbiamo avere $k = -2$ (l'altra soluzione, $k=1$, non ci va bene poiché positiva). Ti mando a questo contenuto, che raggruppa un po' tutte le formule che ci serviranno https://library.weschool.com/lezione/ellisse-formule-equazione-eccentricita-fuochi-ellisse-traslata-13121.html. Quel che vogliamo è trovare l'area di un ellisse: la formula è $$ \text{Area} = a \ b\ \pi$$dove $a$ e $b$ sono le misure dei semiassi dell'ellisse. Uno ci viene già dato! Dobbiamo solo trovare l'altro. Allora raccogliamo tutte le informazioni che possediamo riguardo a quest'ellisse. Sappiamo che i fuochi hanno ascissa $3$: avendo la stessa ascissa, stanno su una retta verticale. Ci troviamo di fronte a un ellisse "girato", con il semiasse verticale più lungo di quello orizzontale (che, come ci viene detto, misura $2$). Ma sappiamo di più: fuochi e centro sono allineati, quindi conosciamo anche l'ascissa del centro. Visto che il testo ci dà l'ordinata, il centro è il punto $C \equiv (3;-2)$: l'equazione dell'ellisse sarà quindi$$ \frac{(x+2)^2}{4} + \frac{(y-3)^2}{b^2} = 1$$L'unico parametro ancora incognito è $b$, quello che ci serve. Per ottenerlo, imponiamo il passaggio per il punto $P \equiv (\frac{3}{2}; \frac{\sqrt{14} - 4}{2})$. Svolgendo i conti, si arriva all'equazione $16b^2 = 163 - 20\sqrt{14}$, che ha per soluzione accettabile $b = \sqrt{\frac{163 - 20\sqrt{14}}{16}}$. Sostituendo questo valore nella formula dell'area, otteniamo il risultato cercato! Fammi sapere se è tutto chiaro :D Ciao