Problemi risolvibili tramite equazioni differenziali.

Ciao Matteo! Per risolvere questo esercizio bisogna innanzitutto tenere presente la legge di Hooke per le molle (dai un’occhiata qui: https://library.weschool.com/lezione/l-oscillatore-armonico-legge-di-hooke-e-pendolo-6971.html) che sostanzialmente afferma che la forza elastica esercitata da una molla su un corpo a essa agganciato è proporzionale allo spostamento del corpo stesso, e con verso opposto a esso. In formule: $$\vec{F} = -k\vec{x}.$$La costante di proporzionalità $k$ è detta costante elastica, e dipende solo dalle caratteristiche della molla, ed è proprio quella che nel tuo problema vale $6 \frac{N}{m}$. L’esercizio si svolge lungo la dimensione “orizzontale” e quindi possiamo riscrivere senza troppi problemi la legge di Hooke facendo solo riferimento ai moduli dei vettori $\vec{F}$ e $\vec{x}$ (basta togliere le frecce :D ). Inoltre, dato che $F = ma$ (è una delle leggi di Newton: https://library.weschool.com/lezione/leggi-di-newton-dal-principio-d-inerzia-quello-di-azione-e-reazione-6965.html) otteniamo: $$ma = F = -kx \quad \Rightarrow \quad a = -\frac{k}{m}x$$Per ragioni che saranno chiare tra poco, in genere si riscrive $\omega^2 := \frac{k}{m}$; inoltre, l’accelerazione istantanea $a$ è definita come la derivata seconda dello spostamento $x$ rispetto al tempo ($x$, infatti, è una funzione $x(t)$ del tempo: la posizione dipende dal tempo, e $x(t)$ è proprio la legge oraria del moto!). In conclusione la legge di Hooke diventa un’equazione differenziale del secondo ordine a coefficienti costanti in $x(t)$: $$x’’(t) = - \omega^2 \cdot x(t)$$A questo punto bisogna fare riferimento al metodo di risoluzione di queste equazioni differenziali: si può mostrare che la soluzione generale è della forma$$x(t) = c_1\cos (\omega t) + c_2 \sin (\omega t)$$dove $c_1$ e $c_2$ sono delle costanti (numeri reali) da determinare in base alle condizioni iniziali. Ma quali sono le nostre condizioni iniziali? Facendo riferimento al testo del problema, si vede che la posizione iniziale da cui il corpo parte è $0.2 m$, e che viene rilasciato senza alcuna spinta iniziale. Questo si traduce nell’imporre le due condizioni $$x(0) = 0.2, \qquad \qquad x’(0) = 0$$(infatti, $x(0)$ è la posizione iniziale e $x’(0)$ è la velocità iniziale). Svolgendo alcuni calcoli, si vede che le due condizioni sono equivalenti a $c_1 = 0.2$ e $c_2 = 0$: quindi la forma dell’equazione oraria del moto diventa nel nostro caso $$x(t) = 0.2 \cdot \cos \left ( \sqrt{\frac{6}{2}} t \right ) = 0.2 \cdot \cos(\sqrt{3}t)$$Ti faccio notare che questa soluzione è effettivamente del tipo previsto da questa lezione, in cui si parla della legge oraria di un moto armonico: https://library.weschool.com/lezione/moto-armonico-formule-6611.html. Come vedi la spiegazione è molto articolata e prevede la conoscenza di un argomento matematico relativamente avanzato (equazioni differenziali del secondo ordine): se hai bisogno di maggiori dettagli, sarò felicissimo di risponderti :) Buona giornata!