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Moto Armonico: le formule

Supponiamo di avere un punto materiale PP animato da moto circolare uniforme: proiettiamo il punto su un diametro della circonferenza, come illustrato in figura, ottenendo il punto QQ.

 

Si definisce moto armonico il moto descritto dalla proiezione QQ del punto PP.

Se rr è il raggio della circonferenza, ed ω\omega la velocità angolare del punto PP, la legge oraria del moto armonico è x(t)=r cos(ωt) x(t) = r \ \cos(\omega t) ove xx indica la posizione del punto QQ rispetto al centro della circonferenza, detto anche posizione di equilibrio.

Come si vede, il moto armonico è un moto rettilineo, poiché la traiettoria giace interamente su una retta (quella individuata dal diametro); ma è molto differente da i moti rettilinei uniformi o uniformemente accelerati: nel caso del moto armonico, infatti, velocità e accelerazione cambiano costantemente. Esse sono date dalle seguenti formule: v(t)=ωr sin(ωt) v(t) = - \omega r \ \sin(\omega t) a(t)=ω2r cos(ωt) a(t) = - \omega^2 r \ \cos(\omega t)

Il valore massimo (in modulo) della velocità è ωr\omega r, e viene assunto quando QQ passa per la posizione di equilibrio, mentre essa è nulla quando QQ si trova nei punti di intersezione tra circonferenza e diametro (ossia quando xx vale ±r\pm r). Al contrario, l’accelerazione assume il suo valore massimo (in modulo) ω2r\omega ^2 r proprio agli estremi dell’oscillazione x=±rx= \pm r, mentre è nulla quando il punto QQ si trova nella posizione di equilibrio.

Come per il moto circolare uniforme, è possibile definire il periodo TT di un moto armonico: è il tempo impiegato dal punto QQ a compiere un’oscillazione completa, dove per oscillazione completa si intende il ritorno del punto QQ alla posizione di partenza con la medesima velocità di partenza. Si può anche definire la frequenza ff, che indica il numero di oscillazioni complete effettuate da QQ in un secondo. Per le loro definizioni, valgono le equazioni (analoghe a quelle per il moto circolare uniforme) T=1f T = \frac{1}{f}

Il moto armonico è stato ricavato da un moto circolare uniforme, ma in realtà si può considerare indipendentemente da quest’ultimo: si usa la sua legge oraria proprio come definizione. In quest’ottica, la lettera ω\omega, che indicava la velocità angolare del moto circolare uniforme da cui è stato ricavato il moto armonico, assume il nuovo significato di una grandezza caratteristica del moto armonico: la pulsazione. Questa è legata al periodo e alla frequenza dalle equazioni ω=2πT=2π f \omega = \frac{2 \pi}{T} = 2 \pi \ f

Infine, si possono legare accelerazione e posizione del punto considerandone il rapporto: x(t)a(t)=r cos(ωt)ω2r cos(ωt)=1ω2 \frac{x(t)}{a(t)} = \frac {r \ \cos(\omega t)}{- \omega^2 r \ \cos(\omega t)} = - \frac{1}{\omega^2} da cui ricaviamo l’equazione a=ω2x a = - \omega^2 x solitamente è proprio quest’ultima equazione che definisce il moto armonico.