Moto Armonico: le formule

Supponiamo di avere un punto materiale $P$ animato da moto circolare uniforme: proiettiamo il punto su un diametro della circonferenza, come illustrato in figura, ottenendo il punto $Q$.

Si definisce moto armonico il moto descritto dalla proiezione $Q$ del punto $P$.

Se $r$ è il raggio della circonferenza, ed $\omega$ la velocità angolare del punto $P$, la legge oraria del moto armonico è $x(t) = r \ \cos(\omega t)$ ove $x$ indica la posizione del punto $Q$ rispetto al centro della circonferenza, detto anche posizione di equilibrio.

Come si vede, il moto armonico è un moto rettilineo, poiché la traiettoria giace interamente su una retta (quella individuata dal diametro); ma è molto differente da i moti rettilinei uniformi o uniformemente accelerati: nel caso del moto armonico, infatti, velocità e accelerazione cambiano costantemente. Esse sono date dalle seguenti formule: $v(t) = - \omega r \ \sin(\omega t)$ $a(t) = - \omega^2 r \ \cos(\omega t)$

Il valore massimo (in modulo) della velocità è $\omega r$, e viene assunto quando $Q$ passa per la posizione di equilibrio, mentre essa è nulla quando $Q$ si trova nei punti di intersezione tra circonferenza e diametro (ossia quando $x$ vale $\pm r$). Al contrario, l’accelerazione assume il suo valore massimo (in modulo) $\omega ^2 r$ proprio agli estremi dell’oscillazione $x= \pm r$, mentre è nulla quando il punto $Q$ si trova nella posizione di equilibrio.

Come per il moto circolare uniforme, è possibile definire il periodo $T$ di un moto armonico: è il tempo impiegato dal punto $Q$ a compiere un’oscillazione completa, dove per oscillazione completa si intende il ritorno del punto $Q$ alla posizione di partenza con la medesima velocità di partenza. Si può anche definire la frequenza $f$, che indica il numero di oscillazioni complete effettuate da $Q$ in un secondo. Per le loro definizioni, valgono le equazioni (analoghe a quelle per il moto circolare uniforme) $T = \frac{1}{f}$

Il moto armonico è stato ricavato da un moto circolare uniforme, ma in realtà si può considerare indipendentemente da quest’ultimo: si usa la sua legge oraria proprio come definizione. In quest’ottica, la lettera $\omega$, che indicava la velocità angolare del moto circolare uniforme da cui è stato ricavato il moto armonico, assume il nuovo significato di una grandezza caratteristica del moto armonico: la pulsazione. Questa è legata al periodo e alla frequenza dalle equazioni $\omega = \frac{2 \pi}{T} = 2 \pi \ f$

Infine, si possono legare accelerazione e posizione del punto considerandone il rapporto: $\frac{x(t)}{a(t)} = \frac {r \ \cos(\omega t)}{- \omega^2 r \ \cos(\omega t)} = - \frac{1}{\omega^2}$ da cui ricaviamo l’equazione $a = - \omega^2 x$ solitamente è proprio quest’ultima equazione che definisce il moto armonico.