Esercizi Svolti su Moto Armonico e Moto Circolare Uniforme

Presentiamo ora tre esercizi sul moto circolare uniforme e sul moto armonico.

1. Un corpo si muove di moto armonico con ampiezza pari a $30 \text{ cm}$. Sapendo che in un minuto compie $300$ oscillazioni, calcola l’accelerazione del corpo agli estremi di oscillazione. 
   • Sappiamo che l’accelerazione è massima agli estremi dell’oscillazione, e vale, in modulo, $a = \omega^2 r$.
     L’ampiezza di un’oscillazione corrisponde al raggio $r$ indicato nella legge oraria. Trasformiamo quindi il raggio da $\text{cm}$ a $\text{m}$: $r = 30 \text{ cm} = 0,3 \text{ m} $
   • Per ottenere la pulsazione $\omega$ è necessario conoscere la frequenza: la frequenza corrisponde alle oscillazioni compiute in un secondo; dividiamo quindi il numero di oscillazioni al minuto per $60$: $$ f = 300 / 60 = 5 \text{ oscillazioni al secondo}$$
   • Possiamo dunque calcolare la pulsazione mediante l’equazione $\omega = 2\pi \ f$: $\omega = 2 \cdot 3,14 \cdot 5 = 31,4 \text{ rad} / \text{s}$
   • Ora che abbiamo pulsazione e ampiezza, procediamo a calcolare l’accelerazione massima: $ a = \omega^2 r = (31, 4)^2 \cdot 0,3$ $ = 295,8 \text{ m} / \text{s}^2 $
2. Un corpo si muove di moto circolare uniforme ed è sottoposto ad un’accelerazione pari a $13,5 \text{ m}/ \text{s}^2$. Se si muove con velocità costante di $20 \text{ m}/ \text{s}$, calcola la velocità angolare.
   
   • Per calcolare la velocità angolare $\omega$ occorre, oltre alla velocità tangenziale $v$ o alla accelerazione centripeta $a_c$, il raggio $r$: vale infatti $ \omega = \frac{v}{r}$, $a_c = \omega^2 \ r$.
   • Il raggio si può calcolare a partire dalla formula per l'accelerazione centripeta con una formula inversa: $ a_c = \frac{v^2}{r} \Rightarrow r = \frac{v^2}{a_c} $; sostituendo i valori numerici otteniamo $ r = \frac{20^2}{13,5} \text{ m} = 29,6 \text{ m}$
   • Ora possiamo usare due modi per calcolare la velocità angolare: $ \omega = \frac{v}{r} = 0,67 \text{ rad} / \text{s}$, oppure $\omega = \sqrt{ \frac{a_c}{r} } = \sqrt{ \frac{13,5}{29,6} } = 0,67 \text{ rad} / \text{s}$
3. Una centrifuga, che impiega $0,12$ secondi per compiere un giro completo, ha un raggio di $2 \text{ dm}$. Calcola la velocità tangenziale, angolare e l’accelerazione centripeta.
   • Dobbiamo, prima di tutto, convertire il raggio da $\text{dm}$ a $\text{m}$: $2 \text{ dm} = 0,2 \text{ m}$
   • Ora possiamo calcolare la velocità tangenziale, poichè abbiamo il raggio e il periodo: $$ v=\frac{ 2\pi r}{T} = \frac{2 \cdot 3,14 \cdot 0,2}{0,12} = 10,47 \text{ m}/\text{s} $$
   • Avendo la velocità tangenziale e il raggio, possiamo calcolare la velocità angolare: $$ \omega = \frac{v}{r} = \frac{10,47}{0,2} = 52,3 \text{ rad}/\text{s} $$
   • Per finire, calcoliamo l’accelerazione centripeta, ottenibile attraverso due metodi: $ a_c = \omega^2 r = 52,3^2 \cdot 0,2 \text{ m}/\text{s}^2 = 547,1 \text{ m} / \text{s}^2 $, oppure $a_c = \frac{v^2}{r} = \frac{10,47^2}{0,2} = 547,1 \text{ m} / \text{s}^2 $