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Esercizi Svolti su Moto Armonico e Moto Circolare Uniforme

Presentiamo ora tre esercizi sul moto circolare uniforme e sul moto armonico.

 

  1. Un corpo si muove di moto armonico con ampiezza pari a 30 cm30 \text{ cm}. Sapendo che in un minuto compie 300300 oscillazioni, calcola l’accelerazione del corpo agli estremi di oscillazione. 
    • Sappiamo che l’accelerazione è massima agli estremi dell’oscillazione, e vale, in modulo, a=ω2ra = \omega^2 r.
      L’ampiezza di un’oscillazione corrisponde al raggio rr indicato nella legge oraria. Trasformiamo quindi il raggio da cm\text{cm} a m\text{m}: r=30 cm=0,3 mr = 30 \text{ cm} = 0,3 \text{ m}
    • Per ottenere la pulsazione ω\omega è necessario conoscere la frequenza: la frequenza corrisponde alle oscillazioni compiute in un secondo; dividiamo quindi il numero di oscillazioni al minuto per 6060: f=300/60=5 oscillazioni al secondo f = 300 / 60 = 5 \text{ oscillazioni al secondo}
    • Possiamo dunque calcolare la pulsazione mediante l’equazione ω=2π f\omega = 2\pi \ f: ω=23,145=31,4 rad/s\omega = 2 \cdot 3,14 \cdot 5 = 31,4 \text{ rad} / \text{s}
    • Ora che abbiamo pulsazione e ampiezza, procediamo a calcolare l’accelerazione massima: a=ω2r=(31,4)20,3 a = \omega^2 r = (31, 4)^2 \cdot 0,3 =295,8 m/s2 = 295,8 \text{ m} / \text{s}^2
  2. Un corpo si muove di moto circolare uniforme ed è sottoposto ad un’accelerazione pari a 13,5 m/s213,5 \text{ m}/ \text{s}^2. Se si muove con velocità costante di 20 m/s20 \text{ m}/ \text{s}, calcola la velocità angolare.
    • Per calcolare la velocità angolare ω\omega occorre, oltre alla velocità tangenziale vv o alla accelerazione centripeta aca_c, il raggio rr: vale infatti ω=vr \omega = \frac{v}{r}, ac=ω2 ra_c = \omega^2 \ r.
    • Il raggio si può calcolare a partire dalla formula per l'accelerazione centripeta con una formula inversa: ac=v2rr=v2ac a_c = \frac{v^2}{r} \Rightarrow r = \frac{v^2}{a_c} ; sostituendo i valori numerici otteniamo r=20213,5 m=29,6 m r = \frac{20^2}{13,5} \text{ m} = 29,6 \text{ m}
    • Ora possiamo usare due modi per calcolare la velocità angolare: ω=vr=0,67 rad/s \omega = \frac{v}{r} = 0,67 \text{ rad} / \text{s}, oppure ω=acr=13,529,6=0,67 rad/s\omega = \sqrt{ \frac{a_c}{r} } = \sqrt{ \frac{13,5}{29,6} } = 0,67 \text{ rad} / \text{s}
  3. Una centrifuga, che impiega 0,120,12 secondi per compiere un giro completo, ha un raggio di 2 dm2 \text{ dm}. Calcola la velocità tangenziale, angolare e l’accelerazione centripeta.
    • Dobbiamo, prima di tutto, convertire il raggio da dm\text{dm} a m\text{m}: 2 dm=0,2 m2 \text{ dm} = 0,2 \text{ m}
    • Ora possiamo calcolare la velocità tangenziale, poichè abbiamo il raggio e il periodo: v=2πrT=23,140,20,12=10,47 m/s v=\frac{ 2\pi r}{T} = \frac{2 \cdot 3,14 \cdot 0,2}{0,12} = 10,47 \text{ m}/\text{s}
    • Avendo la velocità tangenziale e il raggio, possiamo calcolare la velocità angolare: ω=vr=10,470,2=52,3 rad/s \omega = \frac{v}{r} = \frac{10,47}{0,2} = 52,3 \text{ rad}/\text{s}
    • Per finire, calcoliamo l’accelerazione centripeta, ottenibile attraverso due metodi: ac=ω2r=52,320,2 m/s2=547,1 m/s2 a_c = \omega^2 r = 52,3^2 \cdot 0,2 \text{ m}/\text{s}^2 = 547,1 \text{ m} / \text{s}^2 , oppure ac=v2r=10,4720,2=547,1 m/s2a_c = \frac{v^2}{r} = \frac{10,47^2}{0,2} = 547,1 \text{ m} / \text{s}^2