Presentiamo qui di seguito tre semplici esercizi, esemplificativi di quanto può venire richiesto riguardo al moto di punti materiali su piani inclinati.
- Determina l’accelerazione a cui è sottoposto un corpo che scivola lungo un piano inclinato liscio, sapendo che il piano forma un angolo $\alpha$ di $60^\circ$ rispetto all'orizzontale.
- La formula per determinare l’accelerazione, ricavata dalla legge fondamentale della dinamica di Newton, è $$ a = \frac{P_{\parallel}}{m} $$ dove $P_{\parallel}$ è la componente parallela al piano della forza peso e $m$ la massa del corpo.
- La componente $P_{\parallel}$ si può ottenere a partire dall'angolo $\alpha:$ $$P_{\parallel} = m g \sin(\alpha)$$ dove $g$ è l'accelerazione di gravità.
- Mettendo insieme le due formule possiamo ottenere l'accelerazione del corpo, che dipenderà soltanto da $g$ e da $\alpha$: $$ a = \frac{mg \sin(\alpha)}{m} = g\sin(\alpha) $$
- Ora sostituiamo nella formula i valori numerici: $$ a = 9.81 \cdot \sin (60^\circ) = 0.866 \cdot 9.81= 8.5 \text{ m}/\text{s}^2 $$
- Calcolare di quanto diminuisce la quota di un oggetto che scivola per $8$ secondi lungo un piano inclinato di $30^\circ$ rispetto all'orizzontale se la sua velocità iniziale rivolta verso il basso è pari a $ 2 \text{ m} / \text{s} $.
- Per le proprietà dei triangoli rettangoli l'altezza di cui scende il corpo nella sua corsa $h$ si può calcolare a partire dalla distanza percorsa $s$ grazie alla formula che definisce il seno di un angolo: $$ h = s \sin(\alpha) $$.
- Trattandosi di un moto rettilineo uniformemente accelerato, lo spostamento effettuato lungo il piano $s$ si può calcolare facendo ricorso alla seguente formula: $$ s = \frac{v_f^2 - v_i^2}{2a} $$ dove $v_i$ è la velocità iniziale e $v_f$ è la velocità finale e $a$ l'accelerazione (costante) cui è sottoposto il corpo.
- Ricaviamo l’accelerazione mediante quanto sappiamo sul moto lungo un piano inclinato: $$ a = g \sin(\alpha) = 0.5 \cdot 9.81 = 4.91 \text{ m}/\text{s}^2 $$
- La velocità finale, come in tutti i moti rettilinei uniformemente accelarati, si ricava con l'equazione seguente: $$ v(t) = v_0 + a t \Rightarrow v_f = 2 + 4.91 \cdot 8 = 41.3 \text{ m}/\text{s} $$
- Sostituiamo nelle prime due formule e otteniamo: $$ s = \frac{41.3^2 - 2^2}{2 \cdot 4.91} = 173.29 \text{ m} $$ e di conseguenza $$ h = s \sin(\alpha) = 86.64 $$
- Un corpo di massa $m$ pari a $4 \text{ kg}$ scivola lungo un piano inclinato di $30^\circ$ rispetto all'orizzontale. Il piano presenta una superficie scabra: i coefficienti d’attrito statico e dinamico tra il corpo e la superficie del piano sono pari, rispettivamente, a $\mu_s = 0,5$ e $\mu_d = 0,2$. Verificare che il corpo possa iniziare a muoversi. Una volta appurato questo, supponiamo che non appena il corpo raggiunge una velocità di $ 20 \text{ m}/\text{s}$, raggiunge un blocco e si arresta: calcolare l’accelerazione cui è soggetto il corpo e la distanza coperta dallo stesso prima di fermarsi.
- In presenza di attrito statico, un corpo può iniziare a muoversi solo se le forze agenti parallelamente alla superficie superano il valore critico di forza d’attrito statico dato da $$ F_{\text{attrito massimo}} = \mu_s N $$ nel nostro caso, le forze agenti in direzione radente sono la componente parallela del peso $P_{\parallel}$, e la reazione vincolare $N$ è pari alla componente normale del peso $P_{\perp}$
- Occorre determinare la forza peso e le sue componenti parallela e normale: $$ P = m\ g; \ P_{\parallel} = P \sin(\alpha); \ P_{\perp} = P \cos(\alpha) $$ $$ P = 4 \cdot 9.8 = 39.2 \text{ N}; \ P_{\parallel} = 0.5 \cdot 39.2 = 19.6 \text{ N}; \ P_{\perp} = 0.866 \cdot 39.2 = 34 \text{ N} $$
- La condizione che permette il moto in presenza di attrito statico è $$ P_{\parallel} > \mu_s N $$ sostituendo i nostri dati osserviamo che $ P_{\parallel} = 19.6 \text{ N}$, e $\mu_s N = \mu_s P_{\perp} = 0.5 \cdot 34 = 17 \text{ N}$: la forza radente è superiore al valore critico dell’attrito statico, e il corpo può mettersi in movimento!
- Per quanto noto sui piani inclinati scabri, il moto del corpo è uniformemente accelerato, e l’accelerazione è data dall'equazione $$ a = \frac{P_{\parallel} - F_{att}}{m} $$
- Ora è la volta della forza d’attrito dinamico $F_{att}$. Questa è pari al prodotto tra reazione vincolare $N$ (pari a $P_{\perp}$) e coefficiente d’attrito $\mu_d$. Nel caso in esame, vale $$ F_{att} = \mu_d N = 0.2 \cdot 34 = 6.8 \text{ N} $$
- Sostituiamo dunque nella formula dell’accelerazione per ottenere il valore cercato: $$ a = \frac{ 19.6 - 6.8 }{ 4 } = 3.2 \text{ m}/\text{s}^2 $$
- Rifacendoci ancora una volta alle leggi valide nel moto rettilineo uniformemente accelerato, calcoliamo lo spostamento effettuato $s$ con la formula che segue: $$ s = \frac{v_{\text{finale}}^2 - v_{\text{iniziale}}^2}{2a} = \frac{20^2 - 0^2}{2 \cdot 3.2} = 62.5 \text{ m} $$