In generale è poco verosimile che un corpo si muova di moto rettilineo uniforme (anzi, sappiamo che questo accade solo in condizioni molto particolari: la risultate delle forze agenti sul corpo deve essere nulla, secondo il principio di inerzia). Più comunemente, un corpo modificherà la propria velocità nel corso del moto.
Consideriamo sempre un moto rettilineo, che avviene, cioè, su un’unica retta; muniamo questa retta di un sistema di riferimento stante di un’origine $\mathcal{O}$ e un verso sulla retta, che identifica una coordinata $x$. Gli istanti invece saranno indicati dalla lettera $t$.
La grandezza fisica che rende conto della variazione di velocità è l’accelerazione.
Intuitivamente, l’accelerazione è il rapporto tra variazione di velocità e il tempo che è necessario ad attuare questa variazione.
Diamo delle definizioni più precise.
Consideriamo due istanti successivi, $t_1$ e $t_2$, e andiamo a calcolare la velocità istantanea del punto materiale in questi due istanti, $v_1 = v(t_1)$ e $v_2 = v(t_2)$.
La variazione di velocità è la quantità $$ \Delta v =v_{\text{finale}} - v_{\text{iniziale}} $$ mentre la durata di questa variazione è l’intervallo di tempo $$ \Delta t = t_{\text{finale}} - t_{\text{iniziale}} = t_2 - t_1 $$
Definiamo dunque l’accelerazione media come il rapporto tra la variazione di velocità e la durata di tale variazione: $$ a_m = \frac{\Delta v}{\Delta t} = \frac{v_{\text{finale}} - v_{\text{iniziale}}}{t_{\text{finale}} - t_{\text{iniziale}}} $$
Essendo la velocità misurata in metri al secondo, e il tempo in secondi, l’unità di misura dell’accelerazione sarà metri al secondo per secondo, ossia $\text{m} / \text{s}^2$.
Come per la velocità media, l’accelerazione media è un concetto approssimativo: limita l’indagine a quanto succede all’inizio e alla fine dell’esperimento, non considerando invece l’evoluzione, istante per istante, della velocità. Per questo motivo si tende ad usare l’accelerazione istantanea $a$: si tratta dell’accelerazione media calcolata su due istanti molto vicini tra loro, di modo che l’intervallo di tempo $\Delta t$ tenda a $0$. In questo modo, l’accelerazione istantanea risulta non più definita su un intero intervallo di tempo, ma solo in un istante preciso, cui corripsonde non un tratto del tragitto percorso, ma una singola posizione. Per questo motivo si scrive spesso $a = a(t)$.
Usando il linguaggio dell’analisi matematica, l’accelerazione istantanea è il limite del rapporto incrementale della funzione velocità istantanea al tendere dell’incremento temporale a zero: si tratta della derivata della velocità rispetto al tempo.
Per il moto rettilineo che stiamo analizzando, il caso più semplice dopo quello del moto rettilineo uniforme è quello del moto rettilineo uniformemente accelerato.
Si dice moto rettilineo uniformemente accelerato quel moto rettilineo caratterizzato da un’accelerazione costante nel tempo: $a = \text{ cost.}$; a questa condizione corrisponde la legge oraria:
$$ \begin{cases} v(t) & = a \ t + v_0 \\x(t) & = \frac{1}{2} a \ t^2 + v_0 \ t + x_0\end{cases} $$
dove $v_0$ rappresenta la velocità del punto materiale all’inizio dell’esperienza fisica e $x_0$ la sua posizione in quell’istante.
Se un punto materiale si muove di moto rettilineo uniformemente accelerato, vale anche la seguente formula: $$ \Delta s = x_{\text{finale}} - x_{\text{iniziale}} = \frac{v_{\text{finale}}^2 - v_{\text{iniziale}}^2}{2 a} $$ Questa formula è molto utile poiché in essa non compare la variabile indipendente $t$, ma solo i valori iniziali e finali di velocità e posizione.