Proprietà delle relazioni binarie

Ciao Myriam! Innanzitutto ti linko a questo contenuto https://library.weschool.com/lezione/codominio-dominio-relazione-classi-equivalenza-teoria-insiemi-12780.html dove definiamo bene le proprietà di una relazione binaria. Veniamo ora ai tuoi punti. Per 1), ahimè, la relazione è transitiva. Infatti, per tutte le triplette $x,y,z$ per cui $x \mathcal{R} y$ e $y \mathcal{R} z$, abbiamo anche $x \mathcal{R} z$: il "trucco" sta nel chiederci, quali sono le coppie da controllare? Nota che non ci sono tre elementi distinti in relazione (qualsiasi); non avendo nulla da controllare, la condizione è automaticamente soddisfatta. Puoi vederla anche così: ci sono degli elementi dell'insieme $A$ che non soddisfano o "fanno saltare" la condizione di transitività? Perché, per dimostrare che una certa relazione non è transitiva, dobbiamo esibirne la prova, quella che in matematichese si chiama "controesempio". In questo caso non riusciamo ad esibire un controesempio, perché non ci sono elementi $x, y, z$ tali per cui $x \mathcal{R} y$ e $ y \mathcal{R} z$ ma $x \backslash \!\!\!\! \mathcal{R} z$. Quello che porti tu non è un controesempio valido, dato che già in partenza $b \backslash \!\!\!\! \mathcal{R} c$: abbiamo bisogno, ad esempio, che siano vere sia $a \mathcal{R} b$ sia $b \mathcal{R} c$ ma che invece $a \backslash \!\!\!\! \mathcal{R} c$. Per lo stesso motivo, la relazione definita al punto 2) non è transitiva (ma come giustamente dici, è simmetrica e riflessiva). Spero sia tutto chiaro: se hai ulteriori dubbi o domande, chiedi pure!

in tal caso come dimostro che la transitività sussiste? aRb, bRa -> aRa non va bene nemmeno? Grazie ancora ^_^ - Myriam Pappalardo 22 Gennaio 2017

Ciao ancora Myriam! Beh, è un po' difficile dimostrare che sussiste la transitività con delle relazioni non transitive :D Le proprietà di una relazione fanno parte di quella classe di proposizioni che devono valere per tutti gli elementi di un determinato insieme, quindi è molto più facile trovare un controesempio (cioè, trovare un baco nella situazione che abbiamo), che (di)mostrare che valgano sempre. Non ci rimane altro da fare che armarci di pazienza e applicare la definizione... a meno che la relazione non sia data in termini più generali (tipo una regola), allora possiamo usare un po' di algebra :3 ma per le relazioni definite coppia a coppia, come quelle che porti ad esempio, purtroppo non c'è altro metodo che controllarle tutte. Un saluto e buona giornata!

Ciao Giovanni, ti ringrazio per la tua risposta! a proposito di algebra allora.... ;) Sia N l'insieme dei numeri naturali, e sia data la relazione binaria R su N definita da: nRm <-> (n-m)/2 [appartenente ai naturali]. Penso sia riflessiva, transitiva mRn, nRp-> mRp (ho scelto p numero naturale), simmetrica no perchè non vale la pr. commutativa, e per la stessa ragione direi nemmeno antisimmetrica. Che dici?:) - Myriam Pappalardo 24 Gennaio 2017