punti di accumulazione

Ciao Caterina. Per prima cosa ti suggerisco di leggere questa lezione, in cui - tra le altre cose - viene spiegata la definizione di punto di accumulazione per un insieme: https://library.weschool.com/lezione/punti-di-accumulazione-intervalli-definizione-intervallo-matematica-13434.html. Veniamo al tuo esercizio, che riscrivo meglio: ti viene chiesto sostanzialmente di determinare l'insieme $DX$ dei punti di accumulazione di $X$, dove $$X := \left \{ \frac{2n}{n+1} + (-1)^n, n \in \mathbb{N} \right \}$$Ciascun elemento di $X$ è un numero razionale, dato dalla somma tra una frazione positiva e $\pm 1$, a seconda che $n$ sia pari o dispari. Si capisce quindi che è conveniente scoprire come sono fatti gli elementi dati da $n$ pari e distinguerli da quelli dati da $n$ dispari. Otteniamo: ##KATEX##\begin{aligned} \frac{2n}{n+1} + 1 & \quad \text{per }n \text{ pari} \\ \frac{2n}{n+1} - 1 & \quad \text{per }n \text{ dispari} \end{aligned}##KATEX##In ogni caso, quando $n$ tende a $+\infty$, si ha che $\frac{2n}{n+1} \rightarrow 2$ (per sapere come mai guarda questa lezione: https://library.weschool.com/lezione/risolvere-forme-di-indeterminazione-limiti-infinito-su-infinito-9628.html). Otteniamo cioè che gli elementi del tipo $\frac{2n}{n+1} + 1$ sono sempre più vicini a $3$ e gli elementi del tipo $\frac{2n}{n+1} - 1$ sono sempre più vicini a $1$: abbiamo quindi due “candidati” ad appartenere all’insieme $DX$, ovvero proprio $1$ e $3$. Verifichiamo che essi ne facciano parte veramente: dobbiamo scoprire cioè se esistono $\text{infiniti}$ elementi di $X$ in un qualsiasi intorno di $3$ o di $1$. Partiamo da $3$: gli elementi che si “addensano” lì vicino sono quelli del tipo $\frac{2n}{n+1} + 1$ con $n$ pari. Consideriamo un intorno del tipo $I = (3-\delta, 3)$ con $\delta>0$ e proviamo a vedere per quanti $n$ possiamo trovare elementi di questo tipo all’interno di $I$. Dobbiamo cioè scoprire per quanti $n$ valgono le disuguaglianze ##KATEX##\begin{aligned} 3-\delta & < \frac{2n}{n+1} + 1 \\ \frac{2n}{n+1} + 1 & < 3 \end{aligned}##KATEX##Dopo alcuni conti ci si accorge che la seconda è sempre verificata, mentre la prima è verificata per tutti gli $n$ che rispettano la condizione $$n > \frac{1}{\delta} - 1$$Gli $n$ che soddisfano questa condizione sono infiniti, dato che - per ogni scelta di $\delta>0$ - il numero $\frac{1}{\delta} - 1$ sarà pur sempre un numero finito. Con un ragionamento analogo si mostra che $1$ ammette infiniti punti di $X$ in un suo qualsiasi intorno, e quindi possiamo dire che $1$ e $3$ appartengono a $DX$! Per dimostrare che questi sono gli unici elementi di $DX$ si può dire brevemente (e in maniera molto imprecisa, ma intuitiva) che $X$ è pieno di “buchi” e che non ci sono altri numeri arbitrariamente vicini a infiniti elementi di $X$ (prova a disegnare sulla retta reale i primi $10$ elementi di $X$ e capirai cosa intendo). Come vedi il tutto è un po’ laborioso, ma molto spesso questi esercizi possono essere risolti in maniera spiccia (dipende dal livello di profondità richiesto nella risposta): ho cercato comunque di darti una dimostrazione abbastanza rigorosa (ma non troppo) per farti capire il tipo di ragionamento che ci sta dietro. Se c’è qualche passaggio che non ti è chiaro dimmi pure :) Buona giornata!

chiarissimo! ti ringrazio!! =) - Caterina Sciove' 11 Gennaio 2016