"quasi tutte le rette"
Nel video si dice che il fascio raccoglie quasi tutte le rette.......poi si determina la retta x + y+1 =0, ma non si capisce la conclusione!!!! nel disegno si vede che anche questa passa per il centro, ma questa retta fa parte o non fa parte del fascio? se no...perchè?
il 09 Febbraio 2016, da serena iacuzzo
Ciao Serena! Un fascio di rette proprio consiste di tutte le rette che passano per un punto, detto centro. C'è una sostanziale differenza tra il fascio e l'equazione che lo rappresenta. Nel video, si analizza il fascio di equazione$$ kx + (k-1)y + k-2 = 0$$Si trova che il centro del fascio è il punto $C \equiv (1; -2)$, intersecando due rette del fascio (ottenute scegliendo due valori diversi del parametro $k$). La retta $r$ di equazione $x+y+1 =0$ passa per $C$ (basta sostituire le coordinate di $C$ nell'equazione e vedere che è verificata), e quindi, per definizione stessa del fascio, fa parte del fascio. Purtroppo però non è possibile ricavare l'equazione della retta $r$ da quella del fascio: questo perché, raccogliendo il parametro $k$, si ottiene una parentesi con dentro proprio $x+y+1$. L'equazione del fascio proprio di rette infatti può essere scritta in due modi: se ho il centro, essa è$$ y-y_0= m(x-x_0)$$dove il centro ha coordinate $(x_0;y_0)$; in questa forma tuttavia non posso ottenere l'equazione della retta verticale $x=x_0$ che appartiene al fascio. Altrimenti, un altro modo di scrivere l'equazione di un fascio proprio è questa: siano $s$ e $t$ due rette passanti per il centro, di cui conosco le equazioni in forma implicita (per passare da forma implicita ad esplicita, basta seguire i consigli di questo contenuto https://library.weschool.com/lezione/equazione-della-retta-forma-implicita-e-forma-esplicita-4461.html); allora il fascio è dato dall'equazione$$ k\left( \text{eq. di } s\right) + \text{eq. di } t = 0$$In questo caso, non riesco ad ottenere proprio la retta $s$, anche se appartiene al fascio. Nell'esempio del video, abbiamo il fascio di equazione $ k(x + y+1) -y-2 = 0$, e quindi la povera $x+y+1 = 0$ non la possiamo per nessun valore di $k$ :( Spero di essere stato chiaro: se hai dubbi, chiedi pure! Ciao e buona giornata.