raccoglimento a fattor comune
Salve, oggi il prof ha raccolto a fattor comune (a)^x (b)^n-x = (a+b)^n dicendo: " ho raccolto a fattor comune visto che aveano entrambi x come esponente". mi potreste spiegare quale regola ha usato? non la trovo da nessuna parte.
il 29 Marzo 2016, da Monica Inglese
Ciao Monica! Ti faccio subito una domanda perché, quando scrivi di matetematica, c'è sempre il problema delle formule: l'espressione che hai scritto è forse questa? $$ (a)^x (b)^{n-x} \ = \ (a+b)^n $$Scritta in questo modo, l'espressione è falsa in generale. Il raccoglimento a fattor comune, come spieghiamo qui https://library.weschool.com/lezione/scomposizione-polinomi-raccoglimento-parziale-totale-fattor-comune-14938.html, può essere usato solo se ci sono fattori comuni... qui non ci sono! A destra c'è il fattore $a+b$, che non compare a sinistra. L'unico "raccoglimento" che posso fare, sfruttando le proprietà delle potenze (che elenchiamo qui https://library.weschool.com/lezione/proprieta-potenze-potenza-di-potenza-matematica-12977.html), è il seguente: $a^x \cdot b^{n - x} = a^x \cdot b^n \cdot b^{-x} = a^x \cdot b^{-x} \cdot b^n = a^x \cdot \left( b^{-1} \right)^x \cdot b^n = \left( ab ^{-1} \right)^x \cdot b^n $. E se, nella parte sinistra dell'uguaglianza, ci fosse un $+$ tra $a$ e $b$, ancora peggio, dato che le proprietà delle potenze si applicano solo con i prodotti (dato che una potenza è un prodotto ripetuto). In realtà un'espressione per $(a + b)^n$ l'abbiamo, ed è il cosiddetto "binomio di Newton", che spieghiamo qui https://library.weschool.com/lezione/triangolo-tartaglia-formula-di-newton-spiegazione-potenza-binomio-13066.html: $$ (a + b)^n = \sum_{x = 0}^{n} \binom{n}{x} a^x b^{n-x}$$In questa formula riconosco una parte di quanto scritto all'inizio, ma solo una parte! Manca la sommatoria e il coefficiente binomiale. Fammi sapere se è tutto chiaro! Ciao e buona giornata :D