Il triangolo che andremo a studiare prende il nome dal matematico italiano Niccolò Fontana detto Tartaglia (1500-1577). Egli nella sua opera General trattato dei numeri e misure ne presentò la costruzione e alcune proprietà che, quasi un secolo dopo, vennero riprese e ampliate da Blaise Pascal (1632-1662). Ecco come si presenta il triangolo di Tartaglia, se ne arrestiamo la costruzione alla sesta riga.
Le origini di questo oggetto matematico sono, in realtà, molto più remote. Le testimonianze più antiche giunte fino a noi provengono da un commentario al Chanda Shastra, un libro indiano del V secolo a.C. Si trovano rappresentazioni del triangolo di Tartaglia anche in opere successive in Persia (Iran) e Cina.
In questa lezione cercheremo di capire come si costruisce questa figura e quale sia il suo principale utilizzo. Procediamo passo per passo nella costruzione:
- la prima riga sarà composta da un solo elemento: $1$:
- la seconda riga avrà due elementi: li otteniamo immaginando di avere degli zeri a sinistra e a destra del nostro $1$ della prima riga e facendo due somme:
- la terza riga conterrà tre elementi ottenuti a partire dalla seconda. I due numeri più esterni li otterremo come sopra, immaginando sempre di avere degli zeri nello spazio vuoto a fianco di ciascun $1$, mentre l’elemento centrale sarà dato dalla somma dei due $1$:
- la quarta riga si otterrà quindi come somma degli elementi della terza, presi a due a due, prestando sempre attenzione agli $1$ esterni:
In questo modo abbiamo ottenuto un triangolo di Tartaglia di quattro righe:
La particolarità di questa struttura è che ogni sua riga viene generata a partire dalla precedente. Conoscendo il primo elemento e la regola di costruzione dei successivi possiamo quindi realizzare triangoli di Tartaglia di qualsiasi dimensione. Vediamo ad esempio il triangolo di Tartaglia con sette righe:
Per capire l’utilità di questo oggetto curioso dobbiamo guardare con attenzione lo sviluppo delle potenze di un binomio $(a+b)$. Partiamo dai casi più semplici:
##KATEX##\begin{aligned}(a+b)^0 &= \mathbf{1}\\(a+b)^1 &=a+b= \mathbf{1}\cdot a+\mathbf{1} \cdot b\end{aligned}##KATEX## Richiamiamo poi tra i prodotti notevoli il quadrato del binomio e vediamo che:
##KATEX##\begin{aligned}(a+b)^2 &= a^2+2ab+b^2\\&=\mathbf{1} \cdot a^2+\mathbf{2} \cdot ab+ \mathbf{1} \cdot b^2\end{aligned}##KATEX##Utilizzando invece il cubo di un binomio otteniamo:
##KATEX##\begin{aligned}(a+b)^3 &= a^3+3a^2 b+3 ab^2+b^3 \\&=\mathbf{1} \cdot a^3+\mathbf{3} \cdot a^2 b+ \mathbf{3} \cdot a b^2+ \mathbf{1} \cdot b^3\end{aligned}##KATEX##Se svolgiamo la potenza di grado $4$ del nostro binomio abbiamo che:
##KATEX##\begin{aligned}(a+b)^4 &=(a+b)^2 (a+b)^2=(a^2+2ab+b^2)(a^2+2ab+b^2)= \\&= a^4+2a^3 b+a^2 b^2+2a^3 b+4a^2 b^2+2ab^3+a^2 b^2 +2a b^3+b^4= \\&=a^4 + 4a^3 b+ 6 a^2 b^2 +4 ab^3+ b^4= \\&= \mathbf{1} \cdot a^4 + \mathbf{4} \cdot a^3 b + \mathbf{6} \cdot a^2 b^2 + \mathbf{4} \cdot+ a b^3 \mathbf{1} \cdot b^4\end{aligned}##KATEX##Riassumendo, i coefficienti dello sviluppo della potenza del binomio di grado $ 0, \ 1, \ 2, \ 3, \ 4 $ (che abbiamo evidenziato in grassetto) sono rispettivamente:
##KATEX##\begin{aligned}& 1\\& 1 \ 1 \\& 1 \ 2 \ 1 \\& 1 \ 3 \ 3 \ 1 \\& 1 \ 4 \ 6 \ 4 \ 1 \\\end{aligned}##KATEX##Come vediamo, queste sono esattamente le prime quattro righe del triangolo di Tartaglia: deduciamo che esso è proprio una tabella dei coefficienti per lo sviluppo delle potenze del binomio. Nella riga numero $3$ per esempio abbiamo i coefficienti del quadrato del binomio, nella riga $4$ abbiamo i coefficienti del cubo del binomio, e così via.
A partire dal triangolo di Tartaglia, quindi, possiamo ricavare i coefficienti dello sviluppo del binomio $(a+b)^n$, scegliendo un qualsiasi numero naturale $n$. Tali coefficienti vengono moltiplicati per prodotti di potenze di $a$ e $b$: leggendo la riga che stiamo considerando da sinistra a destra, i coefficienti vengono progressivamente moltiplicati a monomi del tipo $a^ib^k$ con $i + k = n$, in maniera che $i$ decresca e che $k$ cresca.
Facciamo un po' di chiarezza con i prossimi esempi.
Esempio 1
Vogliamo sviluppare $(a+b)^n$ con $$ a= 2x \quad b=4 \quad n=3 $$Dato che $n=3$, dobbiamo considerare la quarta riga del triangolo di Tartaglia, che contiene i coefficienti $1,\ 3,\ 3, \ 1$. Quindi abbiamo
##KATEX##\begin{aligned}(2x+4)^3 &= \mathbf{1} (2x)^{3} 4^{0}+\mathbf{3} (2x)^{2} 4^{1}+\mathbf{3} (2x)^{1} 4^{2} +\mathbf{1} (2x)^{0}4^{3}= \\&= \mathbf{1} \cdot 8x^3 \cdot 1+\mathbf{3} \cdot 4x^2 \cdot 4+ \mathbf{3} \cdot 2x\cdot 16 + \mathbf{1} \cdot 1 \cdot 72= \\&= 8x^3+48x^2+ 96x+72\end{aligned}##KATEX##
Esempio 2
La seguente illustrazione mostra lo sviluppo della potenza del binomio $(a+b)^n$ con $a = 2, b = -3x^2$ e $n$ variabile tra $0$ e $5$:
Approfondimento per la classe quinta
In realtà, il triangolo di Tartaglia può essere analizzato anche in un modo un po' più preciso, ricorrendo al concetto di coefficiente binomiale.
Ricordiamo che dati due numeri naturali $n$ e $k$, $k\leq n$, per coefficiente binomiale $\binom{n}{k}$ intendiamo un numero intero non negativo che si ottiene come segue:
##KATEX##\begin{aligned}\binom{n}{0}&=\binom{n}{n}:=1 \\\binom{n}{k}&:= \frac{n!}{k!(n-k)!} \text{ con }k \neq 0, n\end{aligned}##KATEX##Per esempio, abbiamo:
$$\binom{5}{3}= \frac{5!}{3! (5-3)!}=\frac{5\cdot 4\cdot 3\cdot 2}{3\cdot 2\cdot 2}=10$$
Se andiamo a osservare i numeri presenti nel nostro triangolo scopriamo che essi sono tutti coefficienti binomiali, per opportuni $n$ e $k$. In particolare per ciascuna riga (che indichiamo con $n$, a partire da $n=0$) abbiamo tutti i coefficienti binomiali del tipo $\binom{n}{k}$ con $k$ che varia da $0$ a $n$.
Per esempio la quarta riga (che corrisponde a $n=3$, perché partiamo a contare da $0$!) è data da $1,\ 3,\ 3,\ 1$. Utilizzando la definizione di coefficiente binomiale vediamo proprio che:
$$\mathbf{1}=\binom{3}{0} \quad \mathbf{3}=\binom{3}{1} \quad \mathbf{3}=\binom{3}{2} \quad \mathbf{1}=\binom{3}{3}$$
Il triangolo di Tartaglia nasce proprio come tavola dei coefficienti binomiali e si utilizza insieme alla formula di Newton per lo sviluppo delle potenze di un binomio:
$$(a+b)^n= \sum_{\substack{k\in\mathbb{N} \\ 0\le k\le n}} \binom{n}{k} a^k b^{n-k}= \sum_{\substack{k\in\mathbb{N} \\ 0\le k\le n}} \binom{n}{k}a^{n-k}b^{n}$$
Quindi fissato $n\in \mathbb{N}$, i coefficienti binomiali del tipo $\binom{n}{k}$ con $k$ che varia da $0$ a $n$ ci aiutano a determinare la potenza di grado $n$ del binomio $(a+b)$. Tali coefficienti possono essere determinati semplicemente osservando la riga $n$-esima (indicando con $n=0$ la prima riga) del Triangolo di Tartaglia.
Crediti immagini: Triangolo di Zhu Shijie da http://it.wikipedia.org/wiki/Triangolo_di_Tartaglia, Sviluppo di un binomio (animazione): https://tube.geogebra.org/material/show/id/810025