Risoluzione equazioni logaritmiche sotto radice o con valore assoluto

Ciao Gabriele! Sono contento che il corso ti piaccia :) Comunque volevo essere sicuro di aver capito bene il testo degli esercizi che mi stai proponendo, ecco quello che ho inteso io: ##KATEX##\begin{aligned} 1) \quad & \sqrt{\log_2(x)} -8\log_2 \left ( \sqrt{x} \right ) = 0 \\ 2) \quad & \left | \log_2 \left ( \sqrt{x+1} \right )-1 \right | = 2 \end{aligned}##KATEX##Fammi sapere se sono giuste, così poi possiamo iniziare a parlarne :D

Si, il testo é questo :D Grazie ancora :) - Gabriele De Santis 23 Settembre 2015

Ok, ottimo! Farò i conti aprendo un'altra risposta, così si vede meglio :) - Michele Ferrari 23 Settembre 2015

Eccoci qui! Allora, prendiamo la prima equazione: $$\sqrt{\log_2(x)} -8\log_2 \left ( \sqrt{x} \right ) = 0$$Per prima cosa bisogna imporre le condizione di esistenza, che si riducono a $x>1$. Possiamo poi applicare le proprietà dei logaritmi (spiegate qui: https://library.weschool.com/lezione/come-cambiare-base-al-logaritmo-quali-sono-proprieta-dei-logaritmi-9372.html) per cambiare il termine $8\log_2\left (\sqrt{x} \right )$ e farlo diventare $4\log_2(x)$; riordinando i termini otteniamo $$\sqrt{\log_2(x)} = 4\log_2(x)$$A questo punto possiamo tranquillamente elevare al quadrato dato che entrambi i membri dell’equazione sono positivi (finché rimaniamo all’interno delle nostre condizioni di esistenza): quindi, ponendo $t=\log_2(x)$, arriviamo all’equazione di secondo grado $16t^2-t = 0$. Da questa otteniamo due soluzioni $t_1 = 0$ e $t_2 = \frac{1}{16}$ e quindi (ripercorrendo “al contrario” la sostituzione fatta) otteniamo due soluzioni per $x$, entrambe accettabili: $$x_1 = 1 \quad \vee \quad x_2 = \sqrt[16]{2}$$La seconda equazione è invece sostanzialmente un’equazione con valore assoluto (spiegate in generale qui: https://library.weschool.com/lezione/equazioni-valore-assoluto-modulo-matematica-definizione-13050.html) con condizioni di esistenza equivalenti a $x >-1$. La sua risoluzione si riconduce a trovare le soluzioni di queste due equazioni logaritmiche elementari: $$\log_2\left ( \sqrt{x+1} \right ) - 1 = 2 \quad \vee \quad \log_2\left ( \sqrt{x+1} \right ) - 1 = -2$$Dopo alcuni conti si trovano le seguenti soluzioni: $$x = - \frac{3}{4} \quad \vee \quad x = 63$$entrambe accettabili per le condizioni di esistenza. Come vedi non ti ho spiegato tutti i passaggi, ma ho provato a spiegarti quali tecniche bisogna utilizzare in questi esercizi per ricondursi a equazioni logaritmiche elementari, che ti consiglio di provare a fare da solo :) Se ci sono dubbi fammi sapere, buona giornata!

Grazie mille! :D Si, hai fatto bene a non spiegarmi tutti i passaggi. Purtroppo (e per fortuna) mi trovo all'estero e quindi sto studiando il programma italiano totalmente da solo. Questo comporta che molti degli esercizi che faccio non vengono corretti e se non riesco a risolvere qualcosa devo ricorrere in aiuto di qualcuno che ne sa più di me. :) Grazie ancora! - Gabriele De Santis 24 Settembre 2015