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Risoluzione equazioni logaritmiche sotto radice o con valore assoluto

Ciao a tutti! Prima di tutto un grazie al docente del corso. Purtroppo non riesco a risolvere le equazioni logaritmice dove il logaritmo si trova sotto radice o dove é presente un valore assoluto. Come posso fare? In particolare, sto tentando di risolvere queste: 1)rad(log2x)-8log2rad(x)=0 2) |log2rad(x+1)-1|=2 Grazie ancora.

il 22 Settembre 2015, da Gabriele De Santis

Michele Ferrari il 22 Settembre 2015 ha risposto:

Ciao Gabriele! Sono contento che il corso ti piaccia :) Comunque volevo essere sicuro di aver capito bene il testo degli esercizi che mi stai proponendo, ecco quello che ho inteso io: 1)log⁡2(x)−8log⁡2(x)=02)∣log⁡2(x+1)−1∣=2\begin{aligned} 1) \quad & \sqrt{\log_2(x)} -8\log_2 \left ( \sqrt{x} \right ) = 0 \\ 2) \quad & \left | \log_2 \left ( \sqrt{x+1} \right )-1 \right | = 2 \end{aligned}Fammi sapere se sono giuste, così poi possiamo iniziare a parlarne :D

Si, il testo é questo :D Grazie ancora :) - Gabriele De Santis 23 Settembre 2015

Ok, ottimo! Farò i conti aprendo un'altra risposta, così si vede meglio :) - Michele Ferrari 23 Settembre 2015

Michele Ferrari il 23 Settembre 2015 ha risposto:

Eccoci qui! Allora, prendiamo la prima equazione: log⁡2(x)−8log⁡2(x)=0\sqrt{\log_2(x)} -8\log_2 \left ( \sqrt{x} \right ) = 0Per prima cosa bisogna imporre le condizione di esistenza, che si riducono a x>1x>1. Possiamo poi applicare le proprietà dei logaritmi (spiegate qui: https://library.weschool.com/lezione/come-cambiare-base-al-logaritmo-quali-sono-proprieta-dei-logaritmi-9372.html) per cambiare il termine 8log⁡2(x)8\log_2\left (\sqrt{x} \right ) e farlo diventare 4log⁡2(x)4\log_2(x); riordinando i termini otteniamo log⁡2(x)=4log⁡2(x)\sqrt{\log_2(x)} = 4\log_2(x)A questo punto possiamo tranquillamente elevare al quadrato dato che entrambi i membri dell’equazione sono positivi (finché rimaniamo all’interno delle nostre condizioni di esistenza): quindi, ponendo t=log⁡2(x)t=\log_2(x), arriviamo all’equazione di secondo grado 16t2−t=016t^2-t = 0. Da questa otteniamo due soluzioni t1=0t_1 = 0 e t2=116t_2 = \frac{1}{16} e quindi (ripercorrendo “al contrario” la sostituzione fatta) otteniamo due soluzioni per xx, entrambe accettabili: x1=1∨x2=216x_1 = 1 \quad \vee \quad x_2 = \sqrt[16]{2}La seconda equazione è invece sostanzialmente un’equazione con valore assoluto (spiegate in generale qui: https://library.weschool.com/lezione/equazioni-valore-assoluto-modulo-matematica-definizione-13050.html) con condizioni di esistenza equivalenti a x>−1x >-1. La sua risoluzione si riconduce a trovare le soluzioni di queste due equazioni logaritmiche elementari: log⁡2(x+1)−1=2∨log⁡2(x+1)−1=−2\log_2\left ( \sqrt{x+1} \right ) - 1 = 2 \quad \vee \quad \log_2\left ( \sqrt{x+1} \right ) - 1 = -2Dopo alcuni conti si trovano le seguenti soluzioni: x=−34∨x=63x = - \frac{3}{4} \quad \vee \quad x = 63entrambe accettabili per le condizioni di esistenza. Come vedi non ti ho spiegato tutti i passaggi, ma ho provato a spiegarti quali tecniche bisogna utilizzare in questi esercizi per ricondursi a equazioni logaritmiche elementari, che ti consiglio di provare a fare da solo :) Se ci sono dubbi fammi sapere, buona giornata!

Grazie mille! :D Si, hai fatto bene a non spiegarmi tutti i passaggi. Purtroppo (e per fortuna) mi trovo all'estero e quindi sto studiando il programma italiano totalmente da solo. Questo comporta che molti degli esercizi che faccio non vengono corretti e se non riesco a risolvere qualcosa devo ricorrere in aiuto di qualcuno che ne sa più di me. :) Grazie ancora! - Gabriele De Santis 24 Settembre 2015