risoluzione limiti forma esponenziale

Ciao Giuseppe! Allora, la questione è questa: nel calcolare i limiti, le variabili non sono fisse, ma, appunto, variano, tendendo ad un valore fissato. Noi siamo in grado di trattare facilmente i casi in cui la base rimane fissa (cioè non ha la variabile) e l'esponente varia, tipo $4^{\sin(x^3 - 2x)}$, oppure casi in cui l'esponente è fisso e varia la base $\left(\frac{\sin(x)}{x}\right)^\pi$. Se variano sia base sia esponente, dobbiamo prendere la situazione con le pinze, perché possono succedere cose strane: per lo più, forme di indecisione (guarda qui https://library.weschool.com/lezione/limiti-notevoli-dimostrazioni-5918.html). Quello che si fa, in questo casi, è sfruttare la il logaritmo in modo furbo per trasformare tutto in esponente. Procediamo con ordine. Il logaritmo è definito come una delle due operazioni inverse dell'elevamento a potenza: come detto in questo video, https://library.weschool.com/lezione/come-descrivere-studiare-funzione-base-argomento-del-logaritmo-9371.html, il logaritmo in base $a$ di $b$ è quell'esponente che occorre dare ad $a$ per ottenere $b$. Siccome il numero di Nepero $e$ è molto simpatico per quanto riguarda i limiti notevoli, useremo lui come base. Supponiamo allora di avere una scrittura del tipo $f^g$. Avremo, per definizione di logaritmo in base $e$, che$$ f^g = e^{\ln\left( f^g \right)}$$Naturalmente dovremmo porre delle condizioni di esistenza, ma facciamo finta di averle poste e che tutto sia ovunque definito. Ora, il logaritmo ha svariate proprietà, come ricordato qui https://library.weschool.com/lezione/come-cambiare-base-al-logaritmo-quali-sono-proprieta-dei-logaritmi-9372.html; quella che ci interessa asserisce che $log_a(b^c) = c \ log_a(b)$. Applicando questa proprietà all'espressione precedente, abbiamo che$$f^g = e^{\ln\left( f^g \right)} = e^{g \ \ln(f)}$$Questa espressione vale sempre! In realtà vale solo quando è definito il logaritmo (cioè quando $f > 0$), ma l'importante è che la si può usare anche fuori dal contesto dei limiti: non la si usa mai, perché la prima volta che risulta utile è proprio nella risoluzione di limiti del tipo $\lim_{x \to 0 } x^x $. Spero che sia tutto chiaro ora! Fammi sapere :D Ciao e buona giornata.