Scelta della variabile x
Nel video, al minuto 3.50 circa, viene detto che la variabile x può essere scelta anche fuori dal campo ∈(x0−δ,x0+δ) pur rimanendo entro il campo di ε. Non è un controsenso? x deve dipendere da δ, stando alla definizione.
il 14 Novembre 2016, da Davide Marcantoni
Ciao Davide! La definizione di limite con $\varepsilon$ e $\delta$ prendono in considerazione l'ipotesi peggiore possibile. Quello che facciamo è garantire che, se $x$ appartiene all'intervallo $(x_0 - \delta , x_0 + \delta)$, allora $ f(x) $ dista meno di $\varepsilon $ da $l$. Questo non impedisce che esistano altri intervalli dove la $x$ possa infilarsi e per cui $ f(x) $ faccia la stessa cosa; per citare l'esempio del video a cui ti riferisci, a destra di $x_0$ abbiamo ancora spazio: possiamo andare sino con $x$ oltre $5$, e $f(x)$ rimane nella fascia orizzontale $(l - \varepsilon, l + \varepsilon)$; ma se andiamo a sinistra di $x_0$, non appena valichiamo $x_0 - \delta$ usciamo dalla fascia orizzontale, e viene meno la condizione che vogliamo garantire. La situazione è ancora più chiara se, al posto di avere una sola variabile, ne abbiamo due: se ti interessa, ti consiglio questo contenuto https://library.weschool.com/lezione/limiti-di-funzioni-a-due-variabili-distanza-euclidea-limiti-in-piu-variabili-analisi-15359.html. Senza dubbio è più difficile da capire, ma fornisce un quadro completo della situazione. Spero che sia tutto chiaro: se hai dubbi o domande, chiedi pure! Ciao e buona serata.