Simulazione seconda prova del Miur

Ciao Elena! Per il primo quesito... beh, la domanda che fai tu non è proprio chiara. Il testo infatti recita: "Lanciando una coppia di dadi cinque volte qual è la probabilità che si ottenga un punteggio totale maggiore di sette $\textit{almeno due volte}$? Per questo genere di problemi è fondamentale capire che cosa ci viene richiesto, e, ovviamente, conoscere bene come usare gli assiomi del calcolo delle probabilità: abbiamo un intero corso a riguardo https://library.weschool.com/corso/studiare-calcolo-combinatorio-e-probabilita-formule-esercizi-9442.html, ma ti consiglio soprattutto la lezione su Bernoulli https://library.weschool.com/lezione/esempi-calcolare-probabilita-di-prove-ripetute-con-formula-bernoulli-9440.html. Qui abbiamo un evento ("fare più di sette con la somma di due dadi") che si deve verificare $\textit{almeno}$ due volte su cinque, cioè ci va bene che si verifichi due, tre, quattro o cinque volte. Che è pari alla possibilità che $\textit{non}$ si verifichi $\textit{esattamente}$ una volta o $\textit{esattamente}$ zero volte. Chiamiamo $p$ la probabilità del nostro evento (fare più di sette eccetera); con un po' di calcolo combinatorio sappiamo che $p = \frac{15}{36}$. Per Bernoulli, la probabilità che si verifichi l'evento una sola volta o zero volte su cinque prove indipendenti è, rispettivamente,$$ \binom{5}{1}p (1-p)^4 = 5 \ \frac{15}{36} \ \left(\frac{21}{36}\right)^4 \quad \binom{5}{0} (1-p)^5 = \left(\frac{21}{36} \right)^5 $$ Facendo i conti, la prima probabilità è $24.12 \%$ e la seconda solo del $6.75 \%$: sommandole si ottiene il $30.87 \%$. Ora quello che ci interessa è il complementare di questa probabilità, cioè $100\% - 30.87 \% = 69.13 \%$. Per quanto riguarda la seconda domanda, basta esplicitare il coefficiente binomiale. Dalla sua definizione (che puoi trovare qui https://library.weschool.com/lezione/quali-sono-proprieta-del-coefficiente-binomiale-calcolare-con-formule-9436.html) possiamo dire che, scrivendo $\binom{x}{5}$, un sacco di fattori si semplificano, per la precisione tutti quelli al numeratore tranne i primi $5$:$$ \binom{x}{5} = \frac{x!}{5! \ (x-5)!} = \frac{x(x-1) \dots (x-4)}{ 5!}$$Allo stesso modo possiamo dire che $\binom{x+2}{5} = \frac{(x+2) \dots (x-2)}{ 5! }$, e quindi l'equazione diventa$$ 6 \frac{x (x-1) (x-2) (x-3) (x-4)}{5!} = \frac{(x+2) (x+1) x (x-1) (x-2)}{5!}$$Possiamo moltiplicare entrambi i membri per $5!$ e dividerli per $x (x-1) (x-2)$, che ci porta ad una equazione di secondo grado che sicuramente non avrai problemi a risolvere :D Spero che ora sia tutto più chiaro. Se hai altri problemi, non esitare a chiedere! Ciao e buona giornata.

Ciao! Allora innanzitutto ti chiedo scusa, non ho scritto completamente il testo del quesito e ti ringrazio per l'aiuto. Il secondo quesito l'ho capito avevo sbagliato un segno da un passaggio con l'altro (che disastro che sono!). Per quanto riguarda il primo quesito (avevo già visto precedentemente il video sulla formula di Bernoulli) non capisco perchè calcoli la probabilità che l'evento si verifichi una sola volta o zero... Io non devo calcolare che si verifichi due volte? Torna anche a me che la probabilità che si verifichi l'evento sia del p=15/36 e la probabilità ce non si verifichi sia q=21/36. Solo che nella formula io ho scritto (secondo quanto dice il mio libro dell'anno scorso della zanichelli) P(2,5)=(5 su 2)p^(numero successioni)q(numero prove) ovvero P(2,5)=(5!)/(2!*3!)*(15/36)^2*(21/36)^(5-2).... cos'è che sbaglio? grazie mille per l'aiuto e scusa per il disturbo, Elena - Elena Pedersoli 12 Gennaio 2016

Ciao Elena! Nessun problema, siamo qui per chiarire i dubbi :D C'è che quello che chiami $P(2,5)$ è la probabilità di ottenere due successi su cinque prove - $\textit{esattamente}$ due successi. Noi vogliamo la probabilità che ci siano $\textit{almeno}$ due successi. La puoi calcolare in due modi: quello che ti ho detto prima (cioè il complementare di ottenere nessuno o un solo successo: $1 - P(0,5) - P(1,5)$); oppure quello di considerare tutti i casi favorevoli: se vogliamo almeno due successi, ce ne vanno bene due (probabilità $P(2,5)$), tre ($P(3,5)$), quattro ($P(4,5)$) o cinque ($P(5,5)$); essendo a intersezione nulla (non si possono verificare contemporaneamente esattamente due ed esattamente tre successi), possiamo sommare le probabilità, secondo il teorema delle probabilità totali, come ricordiamo qui https://library.weschool.com/lezione/utilizzare-teorema-della-probabilita-totale-per-esercizi-problemi-9438.html. La parola chiave qui è proprio quell' "almeno due volte" - e in generale, in questo tipo di esercizi, fonte di dubbi ed errori :3 Ciao e ancora buona giornata! - Giovanni Barazzetta 12 Gennaio 2016