spazio duale

Ciao Michele! Ti avviso subito di una cosa molto importante: non stiamo parlando dello spazio duale di $\mathbb{R}^n$ (ne diamo un accenno qui https://library.weschool.com/lezione/forme-differenziali-forma-differenziale-funzione-differenziale-esatto-applicazione-lineare-15598.html), ma di $E$, come indicato a pagina 1, lo spazio Euclideo tridimensionale, identificabile con $\mathbb{R}^3$. Un piano non passante per l'origine viene identificato univocamente da un vettore, che tiene conto dell'unica direzione normale al piano e della distanza dall'origine. Se non fossimo in uno spazio tridimensionale, questa rappresentazione non funzionerebbe: in uno spazio euclideo di dimensione $n$, le direzioni perpendicolari a un piano sono ben $n - 2$! L'insieme di questi vettori costituisce lo spazio duale di $\mathbb{R}^3$, definito $\Omega$ nel testo da te citato. Ogni punto di questo $\Omega$ rappresenta un vettore (il vettore che lo collega all'origine), e quindi un piano in $\mathbb{R}^3$, al quale, come vettore in $E$, è perpendicolare. Quel che dice in seguito provo a riassumerlo: per un punto $P \in E$ passano infiniti piani; a ciascuno di questi associamo un vettore normale come sappiamo fare. Si può dimostrare (e nel testo che citi questo non è fatto) che in $\Omega$, tutti questi vettori vivono in un piano particolare, $\widehat{P}$; questo piano ha come vettore normale un vettore detto $\overline{x}$, che, se visto come vettore in $E$, collega l'origine proprio al punto $P$. E tutto questo funziona solo e unicamente perché siamo in $\mathbb{R}^3$, non altrove. Spero sia tutto chiaro: se hai domande o dubbi, chiedi pure! Ciao e buona serata!

grazie molte perla risposta e per il tempo dedicatomi. - Michele Ortombina 11 Novembre 2016

Ne approfitto un'ultima volta per tornare sul tema "spazio duale". La necessità di chiarire un po il concetto di spazio duale era per capirci qualcosa sul collegamento tra base duale e coordinate covarianti, infatti, leggendo qua e la tra i forum mi sembra di aver capito che in una base coordinata non ortogonale un vettore v può essere espresso mediante componenti covarianti nel modo seguente: v= a*e^1 +b*e^2 dove e^1, e^2 rappresentano la base duale. Esempio: Scelgo su un piano un riferimento costituito da due assi Oxy non perpendicolari fra loro ma formanti un angolo acuto. Lungo le due direzioni considerto due vettori linearmente indipendenti: v1=(1,2) v2=(3,1) calcolo la corrispondente base duale di v1 e v2: v1 = −15x+35y v2 = 25x−15y Dall'origine O traccio sul piano il vettore v = (P−O) A questo punto proietto il punto P perpendicolarmente ai due assi x e y e ottengo le componenti covarianti del vettore. Se le componenti covarianti le posso esprimere come: v = a ⋅ e^1 + b ⋅ e^2 dove e^1, e^2 rappresentano la base duale della base coordinata, nell'esempio specifico dovrei avere: v = a ⋅ ( −15x+35y ) + b ⋅ ( +25x−15y ) A questo punto come calcolo a e b ? Ho disegnato su un foglio i vettori ed ho misurato graficamente le due componenti covarianti, ma non so come calcolarle analiticamente L'argomento non mi sembra cosi semplice da trattare cmq scusatemi l'uso di linguaggio tutt'altro che tecnico e da principiante quale sono grazie ancora - Michele Ortombina 11 Novembre 2016

Ciao ancora Michele, bentornato! Bisogna fare molta attenzione: uno spazio vettoriale e il suo duale sono due cose completamente diverse. Gli elementi di uno spazio vettoriale $V$ sono detti, generalmente, vettori. Ogni spazio vettoriale ha anche uno spazio "duale", di solito indicato con $V^*$, e gli elementi di questo spazio sono generalmente detti applicazioni (o funzioni o funzionali, a seconda dei casi) lineari sullo spazio di partenza. Quindi: spazio vettoriale e vettori da una parte, spazio duale e funzionali lineari dall'altra. La confusione si genera, spesso, per due motivi: uno, lo spazio duale è a sua volta uno spazio vettoriale, il che genera problemi (ha anche lui uno spazio duale, e che spazio è? come si chiamano i suoi elementi?); due, uno spazio Euclideo, purtroppo, non è uno spazio vettoriale, è uno spazio affine, che è un'altra cosa (i suoi elementi sono punti, non vettori; c'è un sistema di riferimento, non una base, eccetera). Detto questo. Se abbiamo una base dello spazio vettoriale possiamo fare due cose: possiamo scrivere un vettore qualsiasi come combinazione lineare dei vettori della base, cioè come somma vettoriale dei vettori della base, presi con opportuni coefficienti; e possiamo ottenere una base duale della base data, cioè una base dello spazio duale, che si comporta "bene" rispetto alla base di partenza. Non è possibile esprimere un vettore come combinazione di elementi della base duale, così come non è possibile esprimere un'applicazione lineare come combinazione di elementi della base di partenza. Quando tu scrivi $ v = a e^1 + b e^2 $, essendo $e^1$ ed $e^2$ elementi della base duale, hai scritto $v$ come appartenente allo spazio duale, non come vettore. Purtroppo non riesco a seguirti qui! Un'altra questione riguarda la covarianza e la controvarianza. Innanzitutto ti segnalo un contenuto interessante, https://library.weschool.com/lezione/vettori-co-varianti-e-contro-varianti-una-spiegazione-matematica-di-un-conc-2462.html, che parla di "vettori" co- e contro-varianti (anche se sarebbe più corretto definirli tensori), e fornisce una buona spiegazione fisica dei termini. Covarianza e controvarianza hanno a che fare con il cambiamento di base (ad esempio, quando passi dalla base $e_1, e_2$ alla base $v_1, v_2$). Vettori, applicazioni lineari e, in generale, tensori esistono e sono indipendenti da come le descriviamo, e vogliamo mantenere questa loro indipendenza dicendo che, anche quando cambio base, stiamo descrivendo la stessa cosa. Per cambiare base ho bisogno di una trasformazione. Se le componenti di un determinato oggetto seguono la trasformazione inversa rispetto a quella subita dalla base, l'oggetto si dice controvariante; se seguono la stessa trasformazione, l'oggetto è covariante. Ad esempio, dato uno spazio vettoriale $V$, un vettore $v \in V$ è controvariante e un'applicazione lineare $f \in V^*$ è covariante. Nel tuo caso, si passa da $e_1, e_2$ a $v_1, v_2$ mediante la matrice $ \left[ \begin{array}{cc} 1 & -2 \\ -3 & 1 \end{array} \right] $, che ha inversa $ \left[ \begin{array}{cc} -\ ^1/_5 & \ ^3/_5 \\ \ ^2/_5 & -\ ^1/_5 \end{array} \right] $; quindi, come giustamente segnali tu, risulta che $$ \begin{array}{l} v^1 = - \frac{1}{5} e^1 + \frac{3}{5} e^2 \\ v^2 =\ \frac{2}{5} e^1 - \frac{1}{5} e^2 \end{array} $$In definitiva: ottimo sul calcolo della base duale, ma stai attento quando provi a scrivere elementi di spazi differenti. Spero di essere stato sufficientemente chiaro: l'argomento è sottile, pieno di trappole. Se hai qualsiasi dubbio o domanda, chiedi pure! Ciao e buona giornata :D

Davvero grazie !! Forse l'unico forum nel quale concetti non del tutto banali sono trattati con incredibile chiarezza e spiegati in maniera comprensibile anche ai non addetti ai lavori, affascinati come me da questa vastissima branchia della matematica. A volte è un pò imbarazzante porre quesiti di natura tecnica quando non si padroneggia la materia temendo sempre di sparare enormi sciocchezze, questo sito mette a proprio agio, complimenti davvero !! Grazie ancora a Giovanni e a tutto lo staff !! - Michele Ortombina 22 Novembre 2016