teorema

Ciao, ottima lezione come sempre ma non riesco a capire il teorema conclusivo di seguito riportato: la somma degli angoli interni di un poligono di n lati è π(n−2) radianti, o 180(n−2) gradi. Potreste spiegarmelo magari con un esempio pratico? grazie, a presto.


il 28 Dicembre 2016, da calogero salvaggio

Giovanni Barazzetta il 03 Gennaio 2017 ha risposto:

Ciao Calogero! Un esempio è presto detto: prendiamo un poligono di $65$ lati; il teorema ci dice che la somma dei suoi angoli interni è $\pi (65 - 2) = \pi (63) = 63 \pi$, o $63 \times 180 ^\circ = 11340^\circ$. Ricorda che questo vale solo per i poligoni convessi. Per dimostrarlo occorre fare un po' di collage: suddividiamo l'interno del poligono in un po' di triangoli, prendendo un punto dentro il poligono (il "centro", anche se non è necessario che sia proprio il baricentro del poligono) e da questo tracciando dei segmenti che lo collegano a ciascun vertice (delle specie di "raggi"). Se il poligono ha $n$ lati ha anche $n$ vertici, e quindi avremo $n$ triangoli e $n$ raggi. La somma degli angoli interni ad un triangolo è $\pi$ o $180 ^\circ$, quindi tutti questi triangoli assommano a $n \times \pi$ radianti o $n \times 180$ gradi; così facendo però contiamo anche tutti gli angoli che hanno il "centro" come vertice: questi sono tutti angoli consecutivi (proprio secondo la definizione che trovi qui https://library.weschool.com/lezione/angolo-supplementare-complementare-ottuso-acuto-geometria-euclidea-12533.html) e ci basta poco a convincerci che la loro somma è $360^\circ = 2 \times 180^\circ$, o $2 \pi$. Se togliamo dal computo questa quantità troviamo proprio la formula del teorema:$$ n \times \pi - 2 \times \pi = (n-2) \times \pi$$Spero sia tutto chiaro! Se hai dubbi o domande, chiedi pure :D Ciao e buona giornata.


Ciao Giovanni. L'argomento, nello specifico, mi crea qualche difficoltà, tuttavia, messo in questi termini riesco a intuirlo meglio, ma siccome sono una "simple mind" per afferrare il concetto ho dovuto applicare il tuo utilissimo esempio a un poligono di soli 4 lati. Grazie della dritta, è stata indubbiamente fondamentale. Buona giornata. - calogero salvaggio 02 Febbraio 2017