Teorema inverso di Bolzano

Ciao Miriam! Abbiamo avuto un piccolo inconveniente tecnico e Oilproject s'è mangiato un pezzo della tua domanda (probabilmente aveva fame): scusaci :/ stiamo lavorando per risolvere il baco. Intanto lascia che copi il testo della tua domanda, così che tutti la possano leggere:$$ $$ Ancora una volta vi chiedo aiuto sulla dimostrazione di un teorema. L'enunciato è: ogni funzione monotona che ha per codominio un intervallo è continua. La dimostrazione inizia così: poiché per ipotesi il codominio è un intervallo allora $m$ ed $n$ a loro volta sono due valori della funzione precisamente $m = f(a)$ e $n = f(b)$ che comprendono $c$ cioè $m = f(a) < f(c) < n = f(b)$. Per ipotesi sapendo che la funzione è monotona in questo caso è crescente se i valori della funzione si trovano in questo ordine $ f(a) < f(c) < f(b)$ i punti in cui vado a calcolare la funzione devono trovarsi in una situazione analoga cioè $ a < c < b $. Se facciamo vedere che per ogni $x$ appartenente ad a questo intorno $I$ i valori della funzione vanno a finire in $J$ allora abbiamo dimostrato il teorema perché abbiamo verificato la definizione di funzione continua. DUBBIO: Ma io dopo aver fatto tutta questa dimostrazione non sto dimostrando semplicemente che vale la definizione di limite che c'entra con la continuità? Sto dimostrando che esiste il limite ma non che coincide proprio con la funzione calcolata in $c$. $$ $$Dunque, enunciamo il teorema che tu citi: sia $f$ una funzione definita dall'intervallo $I$ ad $\mathbb{R}$, monotona su $I$. Se $f(I)$ è un intervallo, allora $f$ è continua su $I$. Per la dimostrazione supponiamo che la funzione sia monotona crescente, una dimostrazione analoga vale per quelle decrescenti (naturalmente, dovrai invertire i versi delle disequazioni quando passi da $I$ a $f(I)$...). Ora, prendiamo un punto $x_0 \in I$ e dimostriamo che $f$ è continua in $x_0$; se riusciamo a fare questo, avremo dimostrato il teorema poiché $x_0$ è generico. La definizione di limite (illustrata qui https://library.weschool.com/lezione/definizione-di-limite-di-una-funzione-spiegazione-e-grafico-7582.html) e la definizione di continuità (come detto qui https://library.weschool.com/lezione/come-risolvere-limite-di-funzione-continua-esercizi-svolti-formule-9620.html) ci dice che $f$ è continua in $x_0$ se $\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$, ossia se$$ \forall \varepsilon > 0 \exists \delta > 0 \ : \ x_0 - \delta < x < x_0 + \delta \Rightarrow f(x_0) - \varepsilon < f(x) < f(x_0) + \varepsilon$$Quindi noi dobbiamo 1) fissare un $\varepsilon$, a piacere ma generico (deve valere per tutti gli $\varepsilon$!) 2) trovare un $\delta$ e prendere un $x$ in $( x_0 - \delta , x_0 + \delta)$ 3) verificare che per la scelta di $\delta$ e di $x$ fatta al punto 2 valga $f(x_0) - \varepsilon < f(x) < f(x_0) + \varepsilon$. Il punto 1 è facile: scegliamo $\varepsilon$ non troppo grande, perché non vogliamo uscire da $f(I)$; cioè scegliamo $\varepsilon$ tale che sia $f(x_0) - \varepsilon$ sia $f(x_0) + \varepsilon$ sono in $f(I)$. Adesso il punto 2: per trovare un $\delta$ sensato, ci serviamo di una proprietà delle funzioni monotone: una funzione monotona su un intervallo è iniettiva su quell'intervallo. Una funzione iniettiva, come ricordiamo qui https://library.weschool.com/lezione/funzione-inversa-iniettiva-suriettiva-immagine-di-una-funzione-12804.html, ha un'unica retroimmagine per ogni punto dell'immagine. Questo vuol dire, nel nostro caso, che esistono due punti speciali di $I$, una la cui immagine è esattamente $f(x_0) - \varepsilon$ e l'altro che ha immagine $f(x_0) + \varepsilon$ (e non ce ne sono altri con questa proprietà!). Li chiamo $x_O^-$ e $x_0^+$, cioè $f(x_O^-) = f(x_0) - \varepsilon$ e $f(x_0^+) = f(x_0) + \varepsilon$. Ora scelgo $\delta$ come la più breve distanza tra $x_0$ e $x_0^+$ ed $x_0^-$: $$ \delta = \min\{ |x_0-x_0^+|,|x_0-x_0^-| \}$$Per costruzione, e per il fatto che $f$ è crescente, abbiamo $f(x_0) - \varepsilon < f(x_0) < f(x_0) + \varepsilon$ e dunque $x_0^- \leq x_0 - \delta < x_0 < x_0 + \delta \leq x_0^+ $ (se ci fosse un qualsiasi altro ordinamento delle $x$, $f$ non sarebbe monotona crescente). Ora che abbiamo un $\delta$ scelto furbescamente, scegliamo $x \in ( x_0 - \delta , x_0 + \delta)$ e proviamo il punto 3: cioè che $f(x_0) - \varepsilon < f(x) < f(x_0) + \varepsilon$. Siccome $x \in ( x_0 - \delta , x_0 + \delta)$, abbiamo $x_0 - \delta < x < x_0 + \delta$ e dunque $x_0^- \leq x_0 - \delta < x < x_0 + \delta \leq x_0^+ $, da cui, applicando $f$ a tutti i membri di questa disuguaglianza,$$ f(x_0^-) = f(x_0) - \varepsilon \leq f(x_0 - \delta) < f(x) < f(x_0 + \delta) \leq f(x_0^+) = f(x_0) + \varepsilon $$Considerando i termini agli estremi e quello centrale, abbiamo proprio $f(x_0) - \varepsilon < f(x) < f(x_0) + \varepsilon$! Abbiamo esibito il $\delta$ della definizione di limite; per la generalità di $\varepsilon$ abbiamo che $f$ è continua in $x_0$, e, ancora per generalità di $x_0 \in I$, abbiamo che $f$ è continua in $I$. Spero sia tutto chiaro! Se hai dubbi su questa dimostrazione o sul teorema, chiedi pure! Ciao e buona serata :3

Non ho parole per ringraziarti, sei stato chiarissimo! Per caso sapresti indicarmi anche se c'è nel forum la dimostrazione di Bolzano e Fermat in due variabili? - Miriam Di Sarno 24 Gennaio 2016