Corso:

Equazioni e disequazioni parametriche

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Verifica su equazioni e disequazioni letterali fratte e irrazionali

  • 1/9

    Di seguito sono elencati i passi da seguire per risolvere un’equazione parametrica: abbinare a ciascuno di essi l’ordine in cui deve essere svolto.

    Verificare che le soluzioni soddisfino le condizioni di accettabilità
    Ridurre l'equazione in forma normale
    Porre le condizioni di esistenza
    Risolvere l'equazione, arrivando a soluzioni provvisorie
  • 2/9

    Si consideri l’equazione parametrica$$ \frac{a^4}{2x^2 -a^2} +2x^2 = \frac{4}{2-a^2} -a^2$$Quali delle seguenti espressioni è sempre soluzione di questa equazione, ovunque sia definita?

  • 3/9

    Come si chiamano quelle condizioni che vanno poste affinché la soluzione di un’equazione letterale abbia significato?

  • 4/9

    Si consideri la disequazione letterale fratta$$\frac{x^4 - a^2 x^2 \left( \sqrt{3} - \sqrt{2} \right) - a^4\sqrt{6}}{x^4-2a^4} \geq 0$$In corrispondenza dei valori del parametro $a <0$, quali dei seguenti intervalli fanno parte della soluzione della disequazione?

  • 5/9

    Si consideri la disequazione$$ \frac{(1 - x^2)^2 - (x^2-2a)^2}{(1-x^2)(x^2 - 2a)} \leq \frac{8a}{1-4a^2}$$Le soluzioni dell’equazione associata sono$$ x = \pm \sqrt{\frac{1+4a^2}{2}} \qquad \pm \frac{1}{2}\sqrt{\frac{1+4a^2}{a}}$$Di seguito sono elencate possibili soluzioni della disequazione: queste sono accettabili al variare del parametro $a$. Associare a ciascuna di esse l’intervallo cui deve appartenere il parametro $a$ affinchè sia la soluzione della disequazione.

    $$ \left(-\infty, -\sqrt{\frac{1+4a^2}{2}}\right) \cup \left(-1, 1\right) \cup \left(\sqrt{\frac{1+4a^2}{2}}, +\infty \right) $$
    $$ \left(-1, -\sqrt{\frac{1+4a^2}{2}} \right) \cup \left(\sqrt{\frac{1+4a^2}{2}}, +1 \right) $$
    $$ \left(-\infty, -\frac{1}{2}\sqrt{\frac{1+4a^2}{a}}\right) \cup \left(-1, -\sqrt{\frac{1+4a^2}{2}}\right) \cup \left(-\sqrt{2a}, \sqrt{2a}\right) \cup \left(\sqrt{\frac{1+4a^2}{2}}, 1\right) \cup \left(\frac{1}{2}\sqrt{\frac{1+4a^2}{a}}, +\infty \right) $$
    $$ \left(-\sqrt{\frac{1+4a^2}{2}}, -\sqrt{2a}\right) \cup \left(-\frac{1}{2}\sqrt{\frac{1+4a^2}{a}}, -1\right) \cup \left(1, \frac{1}{2}\sqrt{\frac{1+4a^2}{a}}\right) \cup \left(\sqrt{2a}, \sqrt{\frac{1+4a^2}{2}}\right) $$
  • 6/9

    È necessario che l’argomento di una radice di indice pari sia strettamente positivo.

  • 7/9

    Si considerino le due equazioni$$\sqrt{a-x} + \sqrt{a+x} = \frac{a \sqrt{2}}{\sqrt{a+x} - \sqrt{a-x}} \qquad \left(\sqrt{a-x} + \sqrt{a+x}\right)\left( \sqrt{a+x} - \sqrt{a-x} \right) = a \sqrt{2}$$Hanno la stessa soluzione? Indicare tutte le risposte corrette, con le annesse motivazioni.

  • 8/9

    Sia data la disequazione letterale razionale$$ \sqrt{x^2 + a} - x < \sqrt{a - 4x} $$Se si considerano valori del parametro $a$ compresi tra $-4$ e $0$, quali dei seguenti intervalli è la soluzione della disequazione?

  • 9/9

    Sia data l’equazione$$ \frac{1}{\sqrt{x+k} + \sqrt{x-k}} + \frac{1}{\sqrt{x+k} - \sqrt{x-k}} = \frac{x+k}{k} $$Per valori del parametro $k$ compresi tra $0$ e $\frac{1}{2}$, elencare di seguito le soluzioni dell’equazione. Scrivere le soluzioni nella forma $x = \dots$, separando eventuali soluzioni multiple con una virgola (ad esempio, “x = k, k+1”); se non sono presenti soluzioni, scrivere “nessuna soluzione”; se ogni valore di $x$ compreso nelle condizioni di esistenza è soluzione, scrivere “per ogni x”.