Verifica sui sistemi lineari: metodo del confronto e metodo di Cramer

Il metodo del confronto è un particolare uso del metodo di sostituzione.

Si consideri il seguente sistema di equazioni:$$ \begin{cases} x - 2(y-(x+1)) = 12 \\3y -x^2 = (3+x)^2\end{cases}$$A quale equazione risolvente si giunge confrontando le diverse espressioni di $x$ derivanti dalle due equazioni?

Si considerino i seguenti sistemi di equazioni:$$ A) \ \begin{cases} x + y = 1 \\x - y = 5\end{cases} \quad B) \ \begin{cases} 3x = 9 y - 4\\3x = 4 x + 2 \end{cases} \quad C) \ \begin{cases} 2x - 4y = 7\\ y = 3x -1\end{cases}$$A ciascuno di questi può essere applicato, senza altri passaggi algebrici, un metodo di risoluzione: collegare a ciascun metodo il sistema per il quale lo si ritiene il più appropriato.

Sia dato il seguente sistema di due equazioni a due incognite:$$ \begin{cases} -\left( x - 3 (y -1)\right) + 2x = 3 \\2( 3x - y) + 3(1 -x) = -12\end{cases} $$Indicarne la soluzione. Se la soluzione è costituita da una coppia di numeri reali $(x; y)$, scrivere tale coppia (ad esempio, “(3; 4)”, e non “(3,4)” o “(3;4)”); se il sistema è indeterminato, scrivere “indeterminato”; se il sistema non ammette soluzione, scrivere “impossibile”.

Sia dato il sistema di due equazioni in due incognite$$ \begin{cases} \sqrt{2} x - 3 y = 4 \\x + \sqrt{2} y = 2\end{cases} $$Associare al ciascuno dei seguenti valori il determinante relativo al sistema precedente che assume tale valore.

Il sistema $\begin{cases} a_1 x + b_1 y = c_1 \\ a_2 x + b_2 y = c_2 \end{cases}$ è indeterminato se e solo se il sue determinante $D$, $a_1b_2 - a_2b_1$, è uguale a $0$.

Consideriamo il seguente sistema di equazioni:$$ \begin{cases} \sqrt{5} x + \sqrt{3} y = 2 \\ \sqrt{3} x - \sqrt{5} y = 2\end{cases} $$Usando il metodo di Cramer, indicare quale tra le seguenti è la soluzione di tale sistema.

Si consideri il sistema lineare di tre equazioni in tre incognite$$ \begin{cases} x + 2y + z = 3 \\ -2x + y -2z = -1 \\ y + z = 4\end{cases}$$Se ne indichi la soluzione. Se la soluzione è costituita da una terna di numeri reali $(x; y; z)$, scrivere tale terna (ad esempio, “(3; 4; 5)”, e non “(3,4,5)” o “(3;4;5)”); se il sistema è indeterminato, scrivere “indeterminato”; se il sistema non ammette soluzione, scrivere “impossibile”.

Usando il metodo di risoluzione che si ritiene più appropriato, indicare quale delle seguenti coppie di numeri reali è soluzione del sistema$$ \begin{cases} \displaystyle{(x+2)(y-1) = (x-1) (y+2)} \\ \displaystyle{6\left( x-1 -3(y+2) \right) = -11\left( 2(x-1) + y+2 \right)} \end{cases}$$