Verifica sui sistemi di equazioni di secondo grado e sui sistemi simmetrici

Segnare quali tra i seguenti sistemi di due equazioni in due incognite sono di secondo grado (segnare tutte le risposte corrette).

Il grado di un sistema di equazioni polinomiali si ottiene moltiplicando i gradi di ciascuna delle equazioni che lo costituiscono.

Le soluzioni di un sistema di secondo grado, di due equazioni in due incognite, possono essere rappresentate, nel piano cartesiano, come l’intersezione di una retta e di un altro luogo geometrico. Quest’ultimo appartiene ad un’ampia famiglia di figure: quali?

A ciascuno dei seguenti sistemi di secondo grado di due equazioni in due incognite si associ la rispettiva soluzione.

Si consideri il seguente sistema:$$ \begin{cases} \displaystyle{ \frac{x + 3}{x - 3} + \frac{y - 3}{y + 3} = 3 } \\ \displaystyle{ \frac{x - 9}{3} + \frac{y - 1}{2} = 0} \end{cases} $$Indicare fra le seguenti coppie di numeri reali quali sono soluzione di questo sistema (indicare tutte le risposte corrette).

Si consideri un sistema di due equazioni di secondo grado che sia indeterminato, ad esempio$$ \begin{cases} 2x+y+7 =0\\ 4x^2 = (y+7)^2 \end{cases}= 0$$Geometricamente, questa situazione si presenta quando le figure che, nel piano cartesiano, rappresentano le soluzioni delle singole equazioni (per il nostro esempio, la retta di equazione $2x+y+7 =0$ e la conica di equazione $ 4x^2 = (y+7)^2 $) non presentano intersezione, o meglio, hanno come intersezione l’insieme vuoto.

A ciascuno dei seguenti sistemi simmetrici si associ la rispettiva soluzione.

Si consideri il sistema$$ \begin{cases} \displaystyle{\sqrt[3]{x} - \sqrt[3]{y} = 1} \\ \displaystyle{ x - y = 61} \end{cases}$$Avendo l’attenzione di porre $\displaystyle{\sqrt[3]{x}} = t$ e $- \displaystyle{\sqrt[3]{y}} = s$, si indichino le soluzioni $(x; y)$ di tale sistema. Se una coppia di numeri reali è soluzione, scriverla tra parentesi separati da punto e virgola (ad esempio, “(2; 3)” e non “(2, 3)”). Se sono presenti più di una soluzione, si indichino tutte le soluzioni, separate da una virgola (ad esempio, “(2; 3), (3; 2)” e non “(2; 3) (3; 2)”). Se il sistema è indeterminato o impossibile, scrivere, rispettivamente, “indeterminato” o “impossibile”.

Sia dato il sistema di equazioni$$ \begin{cases} \displaystyle{\sqrt{x + 3y} = x + 4} \\ \displaystyle{ \sqrt{x + 3y} = 3y - 19} \end{cases} $$Sfruttare il metodo che più si ritiene appropriato per risolverlo, ed indicare quali tra le seguenti coppie di numeri reali sono soluzione di tale sistema (indicare tutte le possibili soluzioni).