La dilatazione termica e la prima legge di Gay-Lussac

La dilatazione termica è quel fenomeno fisico che si riscontra quando un corpo modifica il proprio volume a seguito di una variazione della sua temperatura.

Supponiamo che un corpo subisca una variazione di temperatura $\Delta T$ e che, a seguito di questa, le sue dimensioni si incrementino, comportando una variazione di volume $\Delta V$. Entro certi limiti, si verifica sperimentalemente che queste due variazioni sono direttamente proporzionali: se indichiamo con $V_0$ il volume inizialmente occupato, vale la formula $$ \Delta V = \alpha \ V_0 \Delta T $$ Il coefficiente di proporzionalità relativo, $\alpha$, si chiama coefficiente di dilatazione termica volumetrica.

Se indichiamo con $V_f$ il volume finale raggiunto, di modo che $\Delta V = V_f - V_0$, e con $T_0$ e $T_f$ le temperature iniziale e finale rispettivamente, possiamo riscrivere la formula precedente come $$ V_f - V_0 = \alpha V_0 (T_f - T_0) \ \Rightarrow \ \begin{cases} \displaystyle{\alpha = \frac{V_f - V_0}{V_0} \frac{1}{T_f - T_0}} \\ \displaystyle{ V_f = V_0 \left(1 + \alpha (T_f - T_0) \right)} \end{cases} $$

Per un gas, è facile vedere questa relazione in atto durate una trasformazione isobara (cioè a pressione costante). In effetti, la prima legge di Gay-Lussac asserisce che, a pressione costante, volume e variazione di temperatura sono legati proprio dalla relazione $ V = V_0 (1 + \alpha \Delta T) $.

I coefficienti di dilatazione termica sono propri di ogni sostanza, e spesso vengono precisati nelle loro caratteristiche tecniche. Di seguito riportiamo il valore del coefficiente di dilatazione per alcuni gas allo stato aeriforme alla pressione di $10^5 \text{ Pa}$, misurati in $\text{K}^{-1}$:

A volte però un corpo si deforma, anziché in tutte e tre le direzioni, solo in due o una; si parla allora di dilatazione termica superficiale o lineare, rispettivamente. Abbiamo così a disposizione un coefficiente di dilatazione termica di superficie $\sigma$ e un coefficiente di dilatazione termica lineare $\lambda$, definiti in maniera del tutto analoga.

Per la precisione, se il corpo si sviluppa solo su una superficie (ad esempio, si tratta di una membrana, un foglio o un corpo la cui superficie è molto più estesa rispetto al suo spessore, come un ponte) indicando con $S_0$ l’area inizialmente coperta e con $\Delta S$ l’incremento di superficie, vale, per un coefficiente di dilatazione superficiale $\sigma$, $$ \Delta S = \sigma \ S_0 \Delta T $$ Se invece il corpo si può estendere solo in lunghezza (come a colonnina di mercurio dentro un termometro), indicando con $l_0$ la lunghezza iniziale e con $l_f$ la lunghezza finale raggiunta, di modo che $\Delta l = l_f - l_0$, vale, per un determinato coefficiente di dilatazione termica lineare $\lambda$, $$ \Delta l = \lambda l_0 \Delta T $$

Naturalmente valgono formule analoghe a quelle ricavate per il volume sia per la dilatazione superficiale che per quella lineare. Se nel corpo in questione la temperatura si diffonde in modo isotropo, cioè uniformemente in ogni direzione, valgono le relazioni $$ \alpha = 3 \lambda; \qquad \sigma = 2 \lambda $$Di seguito riportiamo una tabella che indica alcuni materiali e i loro coefficienti di dilatazione lineare, misurati in $\text{K}^{-1}$:

Dalla formula che definisce la dilatazione termica lineare, possiamo ben capire perchè infrastrutture rigide che coprono ampi tratti, come binari e ponti, sono segmentati: supponiamo di unire Milano e Torino con una ferrovia costituita da un’unico binario, lungo $150 \text{ km}$, fatto di acciaio, che possiede un coefficiente di dilatazione termica $ \lambda $ di $1.7 \cdot 10^{-5}$. Se così fosse, la variazione di temperatura fra la notte e il giorno, che supponiamo essere, in media, di $8 \text{ K}$, comporterebbe che al termine dei binari, in stazione, ci sia un allungamento di $\Delta l = \lambda l_0 \Delta T$ $= 1.5 \ 10^{5} \cdot 1.7 \ 10^{-5} \cdot 8 = 20.4 \text{ m}$! Questo allungamento potrebbe comportare uno sforzo eccessivo per i binari, che sono fissati al terreno, e provocarne la rottura.

Per questo (e altri) motivi, tali infrastrutture sono costruite con segmenti di estensione fissata (ad esempio, i binari di una ferrovia sono divisi in sezioni da $12$, $15$ o $18$ metri), giustapposti l’uno all’altro, al termine di ciascuno dei quali è previsto uno spazio per permettere alla dilatazione termica di non influire sulla struttura complessiva. Usando i dati precedenti, ma pensando a una sezione di binario lunga solo $ 15 \text{ m} $, la dilatazione termica lineare comporterebbe un allungamento di $ 1.5 \ 10^{2} \cdot 1.7 \ 10^{-5} \cdot 8 = 2.04 \text{ cm}$: è sufficiente lasciare uno spazio di $3 \text{ cm}$ tra una sezione e l’altra per non risentire della dilatazione termica del binario.

La dilatazione termica si può anche usare per misurare le variazioni di temperatura. In effetti, conoscendo il coefficiente di dilatazione termica della sostanza e potendo misurarne le dimensioni, ricaviamo, ad esempio per una dilatazione lineare di coefficiente $\lambda$, che $$ \Delta T = \frac{ 1 }{ \lambda } \frac{ \Delta l }{ l_0 } \Rightarrow T_f = T_0 + \frac{ 1 }{ \lambda } \frac{ l_f - l_0 }{ l_0 } $$

Le dimensioni dell’estensione di un corpo non sono le uniche caratteristiche a cambiare al variare della temperatura: ad esempio, nei materiali semiconduttori, la conducibilità elettrica è legata alla temperatura del corpo. Su questo principio si basano i termometri elettronici.

Crediti Immagini: 

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/2/26/Bimetal_coil_reacts_to_lighter.gif
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/8/84/Thurbruecke_Ossingen_Schienenauszug_Suedseite_01_09.jpg