In questa lezione ci occupiamo di risolvere le più semplici equazioni differenziali possibili, dette equazioni differenziali elementari: esse si presentano nella forma $y’ = f(x)$, $y’’ = f(x)$ eccetera. La soluzione generale di queste equazioni è presto detta: grazie alla definizione di primitiva di una funzione, siamo in grado di determinare tutte le soluzioni di $y’ = f(x)$; inoltre, integrando più volte, è possibile risolvere $y’’ = f(x)$, $y’’’ = f(x)$, e via dicendo.
Ma come si vede in questi primi, semplici esempi, si presentano subito due problemi: non è detto che la soluzione sia presente, dato che non sempre $f$ è una funzione integrabile (ossia che ammetta primitiva); inoltre, anche quando è presente una primitiva, non riusciamo a determinare una singola funzione che sia la soluzione dell’equazione differenziale, ma un’intera famiglia. Per determinare la soluzione di un’equazione differenziale, cioè un’unica funzione che soddisfi l’equazione, è necessario imporre delle condizioni aggiuntive, dette condizioni iniziali: si pone che in un certo punto $x_0$ la soluzione $y(x)$ assuma il valore $y_0$. L’insieme di equazione differenziale e condizione iniziale è detta problema di Cauchy: in simboli scriviamo $$ \begin{cases} y’ = f(x) \\ y(x_0) = y_0 \end{cases}$$Se invece non imponiamo condizioni iniziali, il risultato migliore cui possiamo aspirare è quello di determinare una famiglia di funzioni, dipendenti da dei parametri, che soddisfino tutte l’equazione. Questa si chiama soluzione generale dell’equazione differenziale. Per alcune tipologie di equazioni differenziali siamo in grado di determinare la soluzione generale: ce ne occuperemo nelle prossime lezioni, a partire dalle equazioni differenziali a variabili separabili.