In questa lezione ci occupiamo di illustrare la soluzione generale delle equazioni differenziali a variabili separabili.
Un’equazione differenziale di primo ordine si dice a variabili separabili se, mediante passaggi unicamente algebrici, è possibile portare tutte le $y$ dal lato opposto delle $x$, cioè è possibile “separarle”: un’equazione differenziale a variabili separabili quindi può ricondursi alla forma$$y’ = f(x) g(y)$$Il procedimento che bisogna seguire è il seguente:
- Separare le variabili, portando tutte le $y$ da una parte dell’uguale e tutte le $x$ dall’altra.
- Integrare ciascun membro dell’equazione rispetto alla variabile da cui dipende
- Dall’equazione ricavata al punto precedente trovare un’espressione per $y(x)$, soluzione generale dell’equazione cercata.
È importante notare che, se $\overline{y}$ è un valore tale che $g(\overline{y}) = 0$, allora anche la funzione constante $y(x) = \overline{y}$ è soluzione dell’equazione differenziale $y’ = f(x) g(y)$. Sembra complicato, ma svolgendo alcuni esempi risulta chiaro che il processo è alquanto semplice, una volta che si ha confidenza con le primitive di una funzione.
Un caso particolare di equazioni differenziali a variabili separabili sono le equazioni differenziali cosiddette elementari, in cui $g(y) = 1$.
Se un’equazione differenziale di primo ordine non è a variabili separabili, si deve procedere in altro modo: nelle lezioni successive impareremo come comportarci nel caso di equazioni differenziali lineari.