Un’equazione differenziale lineare del primo ordine si presenta nella forma$$ y’(x) + a(x) y(x) = f(x) $$Facciamo subito notare che se $a(x) \equiv 0$, l’equazione è una equazione differenziale elementare, risolubile mediante il calcolo delle primitive; mentre se il termine noto è costantemente nullo, cioè se $f(x) \equiv 0$, ci si riconduce al caso delle variabili separabili. Supponiamo quindi che sia $a$ che $f$ siano non identicamente nulle. A questo punto, la soluzione generale di questo tipo di equazione si può trovare seguendo i seguenti passaggi.
- Trovare una primitiva della funzione $a(x)$, ossia una funzione $A(x)$ tale che $A’(x) =a(x)$.
- Moltiplicare entrambi i membri dell’equazione di partenza per $e^{A(x)}$, ottenendo l’equazione $$ y’(x) e^{A(x)} + a(x) e^{A(x)} y(x) = f(x)e^{A(x)}$$A questo punto è necessario notare che il membro di sinistra dell’equazione così ottenuta altri non è che la derivata di $e^{A(x)} \ y(x)$: trattandosi di un prodotto, per effettuare la derivata è necessario impiegare la regola di Leibniz, per ottenere $\left( e^{A(x)} \ y(x) \right)' = y’(x) e^{A(x)} + a(x) e^{A(x)} y(x)$.
- Integrare entrambi i membri in $d x$. Il membro di sinistra è facilmente integrabile per quanto notato al punto precedente: otteniamo quindi $ e^{A(x)} \ y(x) = \int f(x)e^{A(x)} \ dx + c $. Non dimenticatevi la costante $c$!
- Ricavare infine $y(x)$, moltiplicando entrambi i membri per $e^{- A(x)}$: la soluzione generale quindi è$$ y(x) = e^{- A(x)} \ \int f(x)e^{A(x)} \ dx + c \ e^{- A(x)}$$
Facciamo notare che non sempre il calcolo delle primitive, presente al primo e al terzo punto, è fattibile: in questo caso dovremo accontentarci di indicare la soluzione con un integrale indefinito. Inoltre ricordiamo che la costante $c$ è determinabile una volta assegnata una condizione iniziale che fissi un problema di Cauchy.
Siamo anche in grado di determinare, in alcuni casi, la soluzione generale delle equazioni differenziali lineari di ordine arbitrario: nelle prossime lezioni, ci occuperemo di quelle di second’ordine, omogenee e non omogenee.