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Derivata del prodotto di funzioni: spiegazione ed esempi

Supponiamo di avere una funzione che è prodotto di due fuzioni:

$$y(x)= f(x)g(x)$$

Allora, conoscendo la derivata delle due funzioni $f$ e $g$, è possibile calcolare la derivata del loro prodotto attraverso la formula

$$ \boxed{ y'(x)=(fg)'(x)= f'(x)g(x) + f(x)g'(x) }$$

A parole, se abbiamo due funzioni derivabili, la derivata del loro prodotto ($(fg)'$) è uguale alla somma fra il prodotto della derivata della prima per la seconda non derivata ($f'g$) e il prodotto della prima funzione non derivata per la derivata della seconda ($fg'$). Questa formula viene detta regola di Leibniz.

Facciamo un esempio per chiarirci meglio le idee. Supponiamo di dover calcolare la derivata della funzione $$y(x)=x^2 \log x$$. Poniamo $f(x)=x^2$ e $g(x)=\log x$ ed esprimiamo $y(x)$ come prodotto: $y(x)=f(x)g(x)$. Osserviamo poi che $f(x)=x^2$ e $g(x)=\log x$ sono funzioni di cui conosciamo la derivata: $$f'(x)=2x$$ $$g'(x)=\frac{1}{x} $$ Applicando la formula vista sopra abbiamo: $$y'(x)= f'(x)g(x) + f(x)g'(x) = 2x \log x + x^2 \frac{1}{x} =  2x \log x + x = x(2 \log x + 1 ) $$

Vediamo perchè la formula di derivazione del prodotto è valida. Costruiamo il rapporto incrementale della funzione $y(x)$. $$ \frac{ \Delta y}{\Delta x} = \frac{ y(x+h) - y(x)}{h} =   \frac{ f(x+h) g(x+h)- f(x)g(x)}{h} $$ Aggiungendo e togliendo $f(x)g(x+h)$ al numeratore otteniamo: $$ \frac{ \Delta y}{\Delta x} = \frac{ f(x+h) g(x+h)- f(x)g(x)+f(x)g(x+h)-f(x)g(x+h)}{h} = $$ $$ =  \frac{  g(x+h)[f(x+h)-f(x)]+ f(x)[g(x+h)-g(x)]}{h} =  $$ $$= g(x+h) \frac{  f(x+h)-f(x)}{h} + f(x) \frac{g(x+h)-g(x)}{h}= $$ $$ =g(x+h)\frac{ \Delta f}{\Delta x} + f(x) \frac{ \Delta g}{\Delta x}$$ dove $\frac{ \Delta f}{\Delta x} $ e $\frac{ \Delta g}{\Delta x} $ sono rispettivamente il rapporto incrementale di $f(x)$ e $g(x)$. Passando al limite per $h \to 0$ e sfruttando le proprietà dei limiti (limite della somma e del prodotto di funzioni) abbiamo: $$ y'(x)=\lim_{h \to 0}\left[g(x+h)\frac{ \Delta f}{\Delta x} + f(x) \frac{ \Delta g}{\Delta x}\right]=$$ $$ = \left[\lim_{h \to 0}g(x+h) \right]\left[\lim_{h \to 0}\frac{ \Delta f}{\Delta x} \right] + \left[\lim_{h \to 0} f(x) \right]\left[\lim_{h \to 0}\frac{ \Delta g}{\Delta x} \right] = $$ $$ = \left[\lim_{h \to 0}g(x+h) \right]f'(x) + \left[\lim_{h \to 0} f(x) \right]g'(x) = f'(x)g(x) + f(x)g'(x) $$

Da questa regola si ricava anche che la derivata del prodotto di una costante per una funzione è uguale al prodotto della costante per la derivata della funzione, come precedentemente dimostrato. Infatti, se $y(x)=kf(x)$, allora possiamo pensare $k$ come la funzione costante $g(x)=k$ (quindi $g'(x)=0$ ). Usando al regola del prodotto la derivata di $y(x)$ sarà: $$y'(x)=f'(x)g(x) + f(x)g'(x)= f'(x) \cdot k + f(x) \cdot 0 = kf'(x).$$

La regola di derivazione del prodotto si può estendere anche al prodotto di più di due funzioni. Se ad esempio abbiamo tre fuzioni: $y(x)=f(x)g(x)h(x)$, la sua derivata è: $$y'(x)=f'(x)g(x)h(x) + f(x)g'(x)h(x)+ f(x)g(x)h'(x)$$  Il trucco è sempre lo stesso. Si devono sommare:

  • il prodotto della derivata della prima funzione per la seconda e la terza non derivate,
  • il prodotto della derivata della seconda funzione per le altre due non derivate,
  • il prodotto della derivata della terza funzione per la prima e la seconda non derivate.

​Aumentando il numero di funzioni la regola rimane la stessa: la derivata del prodotto di un numero finito di funzioni derivabili è dato dalla somma dei prodotti della derivata di ognuna per tutte le altre non derivate.