Le equazioni differenziali lineari di secondo ordine omogenee sono riconducibili alla forma$$ ay’’ + b y’ + c y = 0$$È importante notare che, mentre $y(x)$ è una funzione, dipendente dalla variabile $x$, i coefficienti $a$, $b$ e $c$ sono costanti reali. La soluzione generale di questa equazione vive in uno spazio vettoriale di dimensione $2$: è quindi possibile scrivere la soluzione generale come una combinazione$$ y(x) = c_1 y_1 (x) + c_2 y_2(x) $$In questa formula, le funzioni $y_1 (x)$ e $y_2 (x)$ sono indipendenti e costituiscono la base dello spazio delle soluzioni. Nostro scopo è quindi determinare la forma di queste due funzioni, di modo da poter scrivere la soluzione generale.
Per fare questo, occorre risolvere l’equazione $a z^2 + b z + c = 0$, dove $a$, $b$ e $c$ sono i parametri dell’equazione differenziale e $z \in \mathbb{C}$: per il teorema fondamentale dell’algebra, le soluzioni di questa equazione sono esattamente due (eventualmente complesse, eventualmente coincidenti). Chiamiamo $\lambda_1$ e $\lambda_2$ queste soluzioni. Sono possibili i seguenti casi:
- Le soluzioni sono due, reali e distinte: $\lambda_1 \neq \lambda_2$, $\lambda_1$ e $\lambda_2 \in \mathbb{R}$. In questo caso, le funzioni che costituiscono una base dello spazio delle soluzioni sono $e^{\lambda_1 x}$ e $e^{\lambda_2 x}$, per cui la soluzione generale è della forma $$y(x) = c_1 e^{\lambda_1 x} + c_2e^{\lambda_2 x} $$
- Le soluzioni sono reali e coincidenti: $ \lambda_1 = \lambda_2 = \lambda \in \mathbb{R}$. In questo caso la base è costituita dalle due funzioni $e^{\lambda x}$ ed $x e^{\lambda x}$, e quindi la soluzione generale è $$y(x) = c_1 e^{\lambda x} + c_2 x e^{\lambda x} $$
- Le soluzioni sono complesse e coniugate: $\lambda_{1,2} = \alpha \pm i \beta$, dove $i$ è l’unità immaginaria. In questo caso una base delle soluzioni dell’equazione differenziale è data da $e^{\alpha x} \cos(\beta x)$ e $e^{\alpha x} \sin(\beta x)$, da dove ricaviamo l’espressione della soluzione generale:$$ y(x) = c_1 e^{\alpha x} \cos(\beta x) + c_2 e^{\alpha x} \sin(\beta x)$$
Siccome siamo di fronte ad un’equazione del secondo ordine, il problema di Cauchy deve fissare due condizioni iniziali, $y(x_0) = y_0$ e $y’(x_0) = y_1$.
Nelle prossime lezioni ci occuperemo del caso non omogeneo.