L'integrale indefinito di una funzione $f(x)$ è costituito da tutte le sue primitive, ovvero da tutte quelle fuzioni che, derivate, restituiscono proprio $f$.
Una tabella riassuntiva delle primitive più comuni può essere quella che segue, dove abbiamo calcolato le primitive di alcune funzioni elementari. Tali primitive sono divise in tre gruppi:
- Primitive di funzioni: costante, potenza e radice,
- Primitive di funzioni goniometriche,
- Primitive di funzioni esponenziali e logaritmiche.
Nelle tabelle seguenti, la costante $c$ è un numero reale arbitrario $c \in \mathbb R$.
1) Funzioni costanti, potenze (con esponente naturale o reale) e radici
| Funzione $f(x)$ | Intergrale Indefinito $\int f(x)\ dx$ |
| $1$ (funzione costante) | $\displaystyle{\int dx = \int 1 \ dx = x +c}$ |
| $x$ | $\displaystyle{\int x \ dx=\frac{1}{2}x^2+c}$ |
| $\displaystyle{x^{\alpha}}$, per $\alpha\in \mathbb{R},\ \alpha \neq -1$ | $\displaystyle{\int x^{\alpha} \,dx=\frac{1}{\alpha+1}x^{\alpha+1}+c}$ |
| $\displaystyle{\frac{1}{x} = x^{-1}}$ | $\displaystyle{\ln{|x|}+c}$ |
Le funzioni irrazionali del tipo $y=\sqrt[n]{x}$ possono essere trasformate in potenze a esponente frazionario grazie alle proprietà delle potenze $\sqrt[n]{x} = x^{\frac{1}{n}}$, ricadendo così nel caso precedente delle potenze, dato che la formula fornita vale per $\alpha$ numero reale.
Vediamo alcuni esempi:
$\int \sqrt{x}\ dx= \int x^{\frac{1}{2}} \ dx = \frac{2}{3}\sqrt{x^3}+c$
$\int \frac{1}{x^2}\ dx = \int x^{-2} \ dx = -\frac{1}{x}+c$
$\int \frac{1}{\sqrt{x}}\ dx = \int x^{-\frac{1}{2}} \ dx = 2\sqrt{x}+c$
2) Funzioni goniometriche
| Funzione $f(x)$ | Intergrale Indefinito $\int f(x)\ dx$ |
| $\sin x$ | $\int \sin{x} \ dx = -\cos{x} + c $ |
| $\cos x$ | $\int \cos{x}\ dx = \sin{x} + c$ |
| $\displaystyle{\frac{1}{\cos^2{x}}}$ | $\displaystyle{\int \frac{1}{\cos^2{x}}\ dx = \tan{x}+c}$ |
| $\displaystyle{\frac{1}{\sin^2{x}}}$ | $\displaystyle{\int \frac{1}{\sin^2{x}}\ dx = \cot{x}+c}$ |
| $\displaystyle{\tan{x}}$ | $\displaystyle{\int \tan{x}\ dx = -\ln{|\cos{x}|}+c }$ |
| $\displaystyle{\cot{x}}$ | $\displaystyle{\int \cot{x}\ dx = -\ln{|\sin{x}|}+c }$ |
Poi possiamo ricordare che ci sono delle funzioni irrazionali fratte che hanno come primitive delle funzioni goniometriche:
$\displaystyle{ \int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\ dx=\arcsin{x}+c}$ e $\displaystyle{\int \frac{1}{1+x^2}\ dx=\arctan{x}+c}$
3) Funzioni esponenziali e logaritmiche
| Funzione $f(x)$ | Intergrale Indefinito $\int f(x)\ dx$ |
| $e^x$, $e$ numero di Nepero | $\int e^x \ dx = e^x+c $ |
| $a^x$, con $a \in \mathbb R$, $ a > 0$ e $a \neq 1$ | $\displaystyle{\int a^x\ dx = \frac{1}{\ln{a}}a^x+c}$ |
Abbiamo visto nella prima tabella che il logaritmo è la primitiva di una funzione razionale e per comodità lo riportiamo anche qui: $\int \frac{1}{x}\,dx=\ln{|x|}+c$
Quando ci apprestiamo a calcolare le primitive di una funzione ci può aiutare a intuire quali siano le funzioni coinvolte. Inoltre è importante aggiungere $+c$, che rappresenta un numero reale qualunque, in quanto tutte le primitive di una funzione differiscono tra loro per una costante.
Ricorda anche che non sempre il processo di integrazione è immediato, a volte necessita di metodi di integrazione specifici (es: per parti o per sostituzione).