energia moto armonico
Salve! Se consideriamo l'energia meccanica in un moto armonico, ovvero la somma dell'energia potenziale e cinetica, è 1/2kx^2+1/2mv^2 Se ci riferiamo ad un corpo in una posizione qualsiasi la formula è questa: 1/2kA^2=1/2Kx^2+1/2mv^2 dal quale ricaviamop la velocità ecc. Ma non capisco perchè la somma dell' energia potenziale e cinetica di un corpo in una posizione qualsiasi si possa indicare anche come 1/2KA^2. Non dovrebbe essere l'energia potenziale? Grazie in anticipo:)
il 08 Febbraio 2016, da leti b
Ciao Leti! Allora, di norma la lettera $A$ indica l'ampiezza del moto armonico; non è l'unica notazione possibile, ad esempio noi qui https://library.weschool.com/lezione/moto-armonico-formule-6611.html indichiamo con $r$ l'ampiezza (poiché ricaviamo l'equazione del moto armonico da quella del moto circolare uniforme). Come tu ben sai, l'energia meccanica è somma di energia cinetica e potenziale (lo spieghiamo in questo video: https://library.weschool.com/lezione/forza-conservativa-energia-potenziale-cinetica-meccanica-principio-di-conservazione-energia-meccanica-15240.html). In particolare, visto che un oscillatore armonico ha energia potenziale $\mathcal{U} = \frac{1}{2} k x^2$ (dove $k$ è la costante elastica, ed $x$ l'elongazione), avremo sempre che la quantità$$ E = K + \mathcal{U} $$è costante. Costante sì, ma uguale a cosa? Come spiegato qui https://library.weschool.com/lezione/energia-meccanica-teorema-forze-vive-legge-di-conservazione-energia-14879.html, è sufficiente calcolare questa quantità in un qualsiasi istante del moto (tanto $E$ è costante!); quindi sarà bene scegliere un istante in cui le due quantità $\mathcal{U}$ e $K$ sono facili da calcolare. Ad esempio, scegliamo l'istante in cui l'oscillatore armonico è al massimo dell'elongazione. In questo punto, $x = A$ e $v = 0$: questo si evince dalla legge oraria del moto armonico$$ \begin{cases} x = A \cos(\omega t) \\ v = - \omega A \sin(\omega t) \end{cases}$$Imponendo infatti $x = A$, troviamo $\cos(\omega t) = 1$, e quindi $\sin(\omega t ) = 0$ (si tratta di risolvere un'equazione goniometrica elementare: https://library.weschool.com/lezione/equazioni-goniometriche-elementari-disequazioni-goniometriche-esercizi-16426.html). Quindi, nel punto di massima ampiezza, abbiamo$$ E = \mathcal{U} + K = \frac{1}{2}k A^2 + 0$$Da questa uguaglianza deduciamo che, siccome la quantità $E$ deve rimanere costante, in ogni istante del moto armonico,$$ \frac{1}{2}k A^2 = \frac{1}{2} k x^2 + \frac{1}{2} m v^2$$Spero di essere stato chiaro: se hai dubbi, chiedi pure :3 Ciao e buona giornata!
Ho capito perfettamente, grazie mille:) - leti b 10 Febbraio 2016